192 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



DEUXIÈME FORMULE GÉNÉRALE 



8. — L'opération que nous avons faite au n° 1 consiste à intercaler, 

 entre A et B, k — 1 points P^, P^, ... Pfc_i, tels que les longueurs OA, 

 OPj, OPj, ... OPfc-i, OB forment une progression arithmétique. 



Le raisonnement qui consiste à assimiler l'intégrale définie à une somme 



de rectangles infiniment petits subsiste, quels que soient ces points V^. 



Pj, Prenons-les maintenant de telle sorte que la suite des longueurs 



ci-dessus OA, OP^, ... forme non plus une progression arithmétique, mais 



/6\- 

 une progression géométrique. La raison de cette progression sera ( -)*; 



posons, pour plus de simplicité : 



b =eP, a= e='-; 



p — g 



alors la raison sera e k • En d'autres termes, il suffira d'insérer un 



même nombre k — 1 de moyens arithmétiques, entre les exposants a et p. 



Nous admettrons que ces exposants soient essentiellement positifs; 



S— a 

 nous poserons ^— r — =6, et nous admettrons qu'on ait a=?jô. Alors, la 



progression dont nous venons de parler sera 



Les bases des divers rectangles considérés sont les différences de cette 

 suite, et leurs hauteurs sont 



/'(e(» + i)6), /'(e(»+2)e), 



L'aire du premier rectangle sera donc 



(6(11 + 1)6 _ e»6) /"(e ('1 + 1)8) =(i"6(e6_l) /"(«(" + 1)6) 



= a (e9 — l) /"(e <« + •!) 6). 

 Celle du second rectangle sera 



(e(»i + 2)6 _e(" + i)e) /'(ei" + 2)ô) = a (eQ — 1) eQ/" (e (« + 2) 6), 



et ainsi de suite ; de sorte que leur somme pourra s'écrire, en introdui- 

 sant haut et bas le facteur e , pour la symétrie des calculs : 



a y—^J eY(e'"-fH)e) -f e 26 f (e (» + 2) 6) 4- ...4-e/oô/-(ei» + /cj6)l 



