198 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



donc : 



s = 27: n yds = 271 n zdx = ^i: surf, a PQ p. 



La recherche de la surface de la zone est ainsi ramenée l'évaluation 

 de Taire plane qcPQB, qu'il suffira de multiplier par 27r. 



Au lieu de la courbe ap, ou peut construire une courbe a'fi', qui ait les 

 mêmes ordonnées y = OH = LM que la courbe primitive AB, et dont les 

 abscisses t =■ H;x' soient respectivement égales aux longueurs MT des por- 

 tions des tangentes menées à la courbé donnée, comprises entre le point M 

 et l'axe de révolution. On a. en effet : 



et, par suite : 



tdy =: yds, 



de sorte qu'on a, en déliiiitive : 



S = 27r n y ds = 271 / ' tdy = ^iz surf. a'RS fi\ 



en appelant y^ et y^ les ordonnées OR et OS des extrémités de l'arc AB. 

 On voit sur-le-champ que les deux courbes a,3 et a'p', rapportées, l'une à 

 Taxe OX, l'autre à l'axe OY, et construites, la première avec les normales 

 MN, la seconde avec les tangentes MT à la courbe donnée, ont des aires 

 égales. 



De ces différentes transformations, la première se fait au moyen des 

 ordonnées de la courbe, par un quelconciue des procédés géométriques qui 

 servent à construire une troisième proportionnelle à deux droites données. 

 Elle fait intervenir un facteur arbitraire o. Les deux autres exigent 

 seulement l'emploi des normales ou des tangentes à la courbe donnée. Les 

 trois transformations peuvent d'ailleurs être étudiées à part, indépendam- 

 ment de l'usage qu'on en peut faire pour la cubature et la quadrature des 

 solides de révolution, et, c'est ainsi que nous les considérerons parfois, 

 dans les exemples qui vont suivre. 



EXEMPLES DE LA PREMIÈRE TRANSFORMATION 



La ligne droite, 



y = mx -{- n. 



