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volumes des segments correspondants laits dans le solide de révolution 

 engendi'é par la rotation de la figure. Or il est remarquable que cette 

 courbe donne, en même temps, les aires des zones engendrées par les arcs 



de la méridienne. En effet, dans la chaînette, la normale z est égale à-^. 



a 



de sorte que l'on a partout r =zz et que les deux transformations n'en 



font qu'une. En d'autres termes, les segments du solide de révolution 



engendré par la chaînette tournant autour de sa base sont proport ionnds 



aux surfaces des z-ones coi'respondantes. 



On peut ajouter que, dans la chaînette, les arcs sont proportionnels aux 



aires de la courbe; ces propriétés résultent immédiatement de 1 équation 



connue 



if = a' 4- s\ 

 jointe à la relation s =^ '^^—r-' ^^^ ^^i déduit en effet, en differentiant, 



•^ -^ dx 



et 



ydx^^ ads. 



Donc s est proportionnel à j ydx \)y\s entre les mêmes limites. Si l'on 

 multiplie par ti//, il vient 



■zij-dx= -^y^^-yds, 



équation (|ui montre la proportionnalité entre le volume engendré par 

 l'aire et la zone engendrée par l'arc. Plus généralement , 



Cy^'dx^ a I !f-Uh 



Si l'on fait n = 3, la seconde intégrale représente le moment d'inertie de 

 l'arc par rapport à l'axe des x, et la première, mise sous la forme 



3 / dx I ifdy^ est le triple du moment d'inertie de l'aire par rapport au 



même axe. 11 y a donc proportionnalité entre ces deux moments d'inertie. 

 Réciproquement , si nous cherchons la courbe dans laquelle la normale 

 soit proportionnelle au carré de l'ordonnée, nous poserons l'équation 

 différentielle : 



