:20() MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



Mais on peut, pres([iie toujours, tourner la difficulté sans abandonner la 

 transformation par les normales, au moyen d'un changement d'axe. 



Soient AB (fig. 29) la courbe méridienne, et A le point où elle aune tan- 

 gente AC normale à l'axe OX. Menons 

 par ce point une parallèle O'X' à OX. 

 et prenons la droite O'X' pour nouvel 

 axe des abscisses. Si l'on appelle y' l'or- 

 donnée d'un point M quelconque de la 

 courbe par rapport à O'X', y étant tou- 

 jours l'ordonnée du même point par 

 rapport à OX, et a la distance AC des 

 deux axes, on aura: 



y = y' Jf- a, 



et: , 



/ //(/,v = / y'ds + / ads = / y' (h -[- a J ds , 



les intégrales étant prises partout entre les mêmes limites. Cela posé, si, au 

 point A, la courbe donnée a un rayon de courbure ilni, ce rayon de 

 courbure sera la valeur à attribuer à la normale z' de la courbe rapportée 

 à l'axe O'X', et l'on pourra appliquer en tout point l'égalité 



Fiif. 29. 



f,:u = / 



z'd: 



où z désigne la nouvelle normale MN', ({ui ne devient plus infinie au 

 point A comme la normale MN = :;. L'intégrale devra ensuite être com- 

 plétée par l'addition du terme «.s\ 



Si, au contraire, le rayon de courbure en A était intîiti, le changement 



d'axe laisserait subsister dans l'intégrale / z'd.r Télément afltecté d'un fac- 

 teur infini qui figurait dans l'intégrale / zd.r. 11 faudrait alors recourir à 



la transformation par l'emploi des tangentes, (jui ne donne pas lieu à la 

 même difficulté. 



Remarques. — 1" Observons, en passant, (]ue le transport de l'axe (JX 

 parallèlement à lui-même (fig. 30) conduit à la construction d'une courbe 

 dont les aires sont proportionnelles aux arcs s de la courbe donnée. Soit 

 AB une courbe quelconque, que nous rapporterons successivement à deux 

 axes parallèles OX, O'X'; menons à cette courbe la normale MNet, à partir 

 du point P, pied de l'ordonnée MP de la courbe, prenons sur cett<' 

 ordonnée une longueur PQ égale au segment XN', Intercepté sur la normale 



