ÉD. COLLIGNON. — SLU LA CUBATURE DKS SOLIDES DE RÉVOLUTION !207 



MN par les parallèles OX, O'X'. A chaque point M correspondra un point 

 Q, et le lieu de ces points dessinera une 

 courbe «6, dont les aires, rapportées à 

 l'axe OX, seront proportionnelles aux 

 arcs de la courbe AI». En elfet, si l'on 

 appelle y et y' les ordonnées MP, MP' 

 de la courbe donnée par rapport aux 

 deux axes, : et z' les longueurs des nor- 

 males MN.MiY, et a la distance PP' des 

 deux axes, on aura : 



Fis. 30. 



I y ils = / 'ds -\- (l j ds, 



ou bien ; 



/ zdx = j ^'d-jc -r 'M ^/-'''• 

 et, par consécpient : 



m =f(--— -■') djc = f^Ndx =z TpQ dx. 



Inversement, si Ton donne une fonction u de l'abscisse x et <pi"oii 

 demande de construire une courbe y = f(x) dont les arcs .s- soient expri- 

 més par l'intégrale / udx, il sul'tit de considérer u comme un segment 



déterminé sur la normale à la courbe par l'axe des œ et une parallèle menée 

 à une distance arbitraire a de cet axe, et d'exprimer que la longueur a 

 est, sur l'axe des y, la projection du segment ainsi déterminé. Or ce seg- 

 ment fait avec l'axe des y un angle dont la tangente trigonométri([ue 



est -—, ce qui donne l'équation différentielle 

 dx 



ady =\/t<* — o^dx, 



dont l'intégration peut être faite dès que u est exprimé en fonction de x. 



:2° La double transformation d'une courbe, à l'aide de ses normales et 

 de ses tangentes, permet de déterminer, par approximation, le rayon de 

 courbure de la courbe en un point donné. 



Soit AM (fig. 31) une courbe dont on demandt; le rayon de courbure au 

 point A. Menons la normale AO et une perpendiculaire OF à cette droite 

 en un point ([uelconque. Puis considérons sur la courbe une série de 

 points B, C, voisins du point A. Projetons-les en 6, c, sur la iiormale OA. 



