^10 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE,. MÉCAMQ UE 



la surface totale du tore, la formule 



2 t:[(- R a + 2 R^) -^ (:- R a — 2 R'^)] == 4 tt^ R a 



r=2^RX^27ra, 



ce ({ui est conforme au théorème de Guldiii. 



Dans cet exemple, y' reçoit des valeurs négatives tout le long de l'arc 

 ANB. 11 faut bien faire attention, quand on applique la méthode graphique 

 de quadrature, que, si ds et dx sont supposés de même signe, positifs 

 tous deux par exemple, z ai]) doivent aussi être pris avec le même signe, 

 pour qu'on ait toujours l'égalité zdx=:yds. Dans l'exemple qu'on vient 

 de donner, les deux arcs AMB et ANB ont des ordonnées de même signe 

 par rapport à l'axe OX, et des ordonnées de signes contraires par rapport 

 à l'axe AB. Si ion faisait la transformation en se servant de l'axe OX. on 

 serait conduit à tracer deux courbes dont il hudr^it ajouter les aires, pour 

 avoir l'aire totale proportionnelle à la surface cherchée. La transformation 

 appliquée à l'axe AB, qui partage la courbe, amène au contraire à retrancher 

 les aires, au lieu de les ajouter, à cause du changement de signe de 

 l'ordonnée y'. 



Si l'on cherchait le volume engendré par la figure tournant autour de 

 l'axe OX, les deux arcs AMB, ANB, donneraient, par la transformation 



V = ~ , deux arcs en prolongement l'un de l'autre et dessinant un con- 

 a f o 



tour fermé ; le volume cherché serait proportionnel à l'aire comprise au 

 dedans de ce contour, ce (jui revient à retrancher l'aire / vdx, correspon- 

 dante à l'aire ANB, de l'aire / vdx correspondante à AMB ; ce serait la 

 différence des aires, et non la somme qui ferait connaître le résultat voulu. 



§ 2. TRANSFORMATIONS INVERSES 



Occupons-nous des transformations inverses de celles que nous avons 

 opérées jusqu'ici ; c'est-à-dire supposons que l'on nous donne l'une [des 

 courbes v=:f (x). ou z=:o(x), ou t = 'l (y), qui servent à la cuba- 

 ture ou à la quadrature d'une surface de révolution, et qu'on demande la 

 méridienne de cette surface. 



Premier problème. 

 Le premier problème se résout immédiatement. Si, dans l'équation v=f(x} 

 de la courbe qui sert à la cubature, on remplace v par — , a étant une 



