!214 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



scisse X, est beaucoup plus difficile que le premier : il ne peut être 

 résolu que par l'intégration d'une équation différentielle. 



La longueur de la normale est représentée par le produit ij\J \ j^(ÈIY ; 



l'équation différentielle du lieu est (1) y U [-^-(^ht) — - — /"(x), 



f étant la fonction donnée. 



L'équation est intégrable lorsque f(x) est une fonction linéaire de x, ou 



lorsque l'équation s = f{x) représente une 

 droite OR (fig. 33). Appelons a l'angle que 

 fait la normale MN à la courbe cherchée 

 avec l'axe OX; on a, d'une manière gé- 

 nérale, 



y = z sin [j. = f{x) sin \x. 

 Donc 



dy == f (x) sin a dx -f- f {oc) cos a dix. 



Fig. 33. 



Mais on a aussi : 



dy :^ dx cot a. 



Donc 



(2) 



dx (cot [j. — f [x) sin \j) =: /' (x) cos y. d [x. 



Si f (x) est une fonction linéaire de x, f (x) est une constante, et la 

 séparation des variables peut s'opérer. 



Soit, par exemple, z-:=f{x)=^ax, sans terme constant, puisqu'on pour- 

 rait toujours le faire disparaître en choisissant convenablement l'origine. 

 L'équation (2) devient 



dx (cot IX — a sin a) =:: ax cos ;x du, 



ou bien 

 (3) 



dx 

 x 



cos a d[x 



cota — asiii'j.' 



Au lieu d'exprimer x en fonction de a, on peut chasser a? et conserver-. 



Or la relation z=:ax donne (/x = — et -^ =: — ; ce qui transforme 



a X z 



l'équation (3) en 

 (4) 



dz 



cos u. d'x 



z cot y. — osinjj.* 



Remarquons que, z étant la normale et y. l'angle cfu'elle fait avec l'axe 



