216 MATHÉMATIQUES, ASTIIONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



et la fraction à intégrer devient rationnelle en changeant de variable et en 

 posant h = tang ^ . 

 11 vient, en effet, 



COS 'J. ^- ^ ■■ r-, , (lu. 



l+/r' 

 et. par conséquent, 



2 (}r — \ ) dh 



d (0 -1- y.) 



V'4-4fl/).^— 1 



Soient — h\ et /?\ les deux racines réelles, l'une positive. Fautre négative 

 de l'équation /i* -f- 4 aJi^ — 1 = 0, résolue par rapport à li'\ On pourra poser, 

 A et B étant des coefficients constants à déterminer, 



2(/i^ — 1) _ A , B _(AH-B)fe'4-(BV— AV) 



On en déduit: A + P. = 2, 



nh\—Ah\=—% 



■D 



ce qui détermine A et B. La fraction — — peut se décomposer encore 



en deux fractions plus simples, 



B' , B" 



en posant B'4-B"z=0, et (B' — B")/;^;^^. L'intégration ne présente 

 aucune difliculté, et l'on parvient à ré([uation : 



Ô == Oo — 1^- + 7^ arc tang ^ + B' log {h—h^) +B" log (h+h,), 



qui, jointe à l'équation en z, définit la courbe roulante. 



La solution renferme une constante arbitraire C. Mais il existe une 

 solution particulière qui satisfait, d'une manière simple et sans restrictioii 

 d'aucune sorte, aux conditions proposées. Elle consiste à supposer a 

 constant, ce cjui ramène le lieu cherché à une droite. Il faut alors poser à 

 la fois ; 



dia izr et cot [i. — f (x) sin a = 0, 



