±20 MATHÉMATIQLKS, ASTRONOMIE, GÉODÉSIK, MÉCANIQUE 



Pour faire disparaître le radical, élevous au carré Téfiuation, et prenons pour 

 nouvelle variable la sous-normale de la courbe, w= -^. 11 viendra 



et, si l'on obtient u en fonction de x, cette équation fera connaître immé- 

 diatement î/ en fonction de la même variable. Différentions l'équation pré- 

 cédente ; nous aurons : 



ou bien : 

 ou enlin : 



y(hj -L u du = f{x) f {x) d.i\ 

 u dx + u dn — f{x) f (x) dx, 



de sorte que le problème est ramené à décomposer une fonction donnée, 

 <^{x), en deux facteurs, dont l'un soit égal à la dérivée de l'autre, augmentée 

 d'une unité. 



Cette forme se prête, dans le cas où f{x) est très grand, à une intégra- 

 tion approximative. Lorsque la normale à une courbe est très grande par 

 rapport à son ordonnée, la tangente à la courbe fait avec l'axe des x un 

 angle peu différent de l'angle droit, et le rapport de la normale à la sous- 

 normale est voisin de l'unité. On a donc à peu près, pour les grandes 

 valeurs de f [x) auxquelles correspondent des valeurs finies de y. 

 l'égalité 



u = z =^ f [x). 

 Si l'on prend la dérivée des deux membres, il vient 



On voit que l'erreur commise en confondant u et ;; revient à supprimer- 

 l'unité devant 4-^ dans le produit des deux fonctions f {x) et f [x). 



f du \ r- , . du 



produit qui devait être égal à u ( -t^+ 1 )^ et qu'on fait égal a u-^. 



Soit h ce qu'il faut ajouter à f {x) pour que l'on ait rigoureusement 



u =1 f [x) -r- h ; 



