■222 MATHÉMATIQUKS, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



dansTéquation précédente, au termeh-r—, qu'on a d'abord négligé, la valeur 



qu'assigne à ce ternie la détermination de h qu'on vient d'obtenir ; l'équa- 

 tion résultante aura encore la forme linéaire et permettra d'obtenir 

 une nouvelle approximation. En d'autres termes, on peut développer h en 

 série. 



On obtiendra ainsi, avec une approximation qu'il semble possible de 

 pousser aussi loin qu'on voudra, la valeur de h en fonction de x : on en 

 déduira la valeur de u, et aussi la valeur de la somme x -\- u, qu'on peut 

 égaler à une nouvelle variable U. La courbe peut être alors regardée comme 

 définie par l'ensemble des deux équations 



U= W{x), 



z=f (a?), 



ou, en éliminant x, z = F {U), équation qui fait connaître le rayon z 

 d'un cercle décrit du point de l'axe des x qui a U pour abscisse et tangent 

 à la courbe cherchée au point {x, y). La courbe cherchée est l'enveloppe 

 de ces cercles successifs. En un mot, on ramène le problème à la question 

 traitée par Lagrange dans la dix-septième de ses Leçons sur le calcul des 

 fonctions. 



Troisième problème. 



Si l'on donne la courbe t=-j> (y), et qu'on propose de trouver la courbe 

 (x, y) correspondante, on y parviendra en intégrant l'équation différen- 

 tielle 



v/^+(-t;= 



où les variables se séparent, ce qui donne 



x = 



Si, par exemple, on donne une droite y = mt, on aura 



9 {U) ^ -^, et -^-^ = — 



