E. LAQUIÈRE. — DÉMONSTRATION RATIONNELLE DES DÉTERMINANTS 227 



La symétrie des notations étant du plus grand secours pour les cal- 

 culs de ce genre de fonctions, nous écrirons une telle équation sous la 

 loroîc : 



( 1 ) (l PI --f 'i -!- «1,4 «•., -L + «,,s -f.s 4- + «pm œ,,! =: M,, 



dans laquelle les coet'licients des variables sont désignés par une lettre 

 commune a, portant deux indices : le premier^, commun à tous les termes 

 d'une même équation, dont il est l'indicateur ; le second, correspondant 

 à la variable particulière, commun à tous les coefficients de cette variable 

 dans les m équations. Le terme constant, désigné par la lettre générique i/, 

 porte également l'indice p de l'équation. 



Cette même équation, la p^'^^ du groupe, pourra être condensée sous la 

 forme : 



(2) 2 apsa?.s = Wp. 



\ . — Cela posé, la méthode de changement d'unité, (|ui est d'autre part 

 la clef des théories rationnelles des fractions en arithmétique et de la simi- 

 litude en géométrie, nous fera connaître, sans efforts et sans calculs, la 

 composition et les propriétés constitutives des déterminants , en même 

 temps qu'elle mettra en évidence l'identité des deux définitions ci-dessus. 



Faisons varier l'unité à laquelle sont rapportées les variables, en posant : 



ce ~ UC ^ m 



Le système des équations se transformera eu : 



2 



a,,,. X .=^u „ =^ M, 



Si les termes constants u sont rapportés à une unité z fois moindre, iî 

 en doit donc être de même des variables x. Par conséquent, les numéra- 

 teurs des valeurs de x sont linéaires homogènes en u. Les divers u y 

 entrent, de plus, évidemment d'une manière symétrique. Il y a évidem- 

 ment aussi symétrie dans la manière dont le numérateur de l'une des 

 variables x contient les coefficients d'une même autre variable dans les 

 n é(|uations. Enfin, comme l'on peut écrire les équations sous la forme ; 



if 



Op,. av-f- ^ r/,,,. ;/•, — î^i.^O. 



où r prend toutes les valeurs, sauf 6', ce numérateur est symétrique à la 

 lois par rapport à tous les c/k autres que Oj^s, et à ( — Wt). 



