228 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



On obtient évidemment le même résultat par le changement simultané 

 du signe de tous les u, ou celui de tous les x. Ce qui précède revient donc 

 à dire que le numérateur de la valeur d'une variable, changé de signe, est 

 symétrique par rapport à tous les a coefficients des diverses variables, 

 ceux relatifs à la variable considérée étant remplacés par le terme indépen- 

 dant u correspondant. 



C'est donc une fonction symétrique homogène du m'^""^ ordre composée 

 linéairement avec les coefficients de même indice. Il n'y en a évidemment 

 que deux, différant l'une de l'autre, suivant qu'une permutation entre deux 

 séries de coefficients, ayant une indice commun, respecte le signe delà fonc- 

 tion, ou le change. Laquelle est le numérateur? Nous le verrons bientôt. 



Le dénominateur, ou déterminant, présente de son côté une double 

 svmétrie par rapport aux permutations entre les coefficients formant d'une 

 part une série de mêmes premiers indices communs, d'autre part ayant en 

 commun les mêmes seconds indices. 



L'équation 



pouvant s'écrire sous la forme : 



Opi ^1 + + ^ • ^'ps "^ + + ^'pm- '•'^"'" " ^'P' 



ce que j'exprime en disant que le changement d'unité pour une série 

 de coefficients de même second indice implique le changement inverse 

 d'unité pour la variable correspondante, le dénominateur sera nécessaire- 

 ment linéaire par rapport aux coefficients de mêmes seconds indices, ce 

 qui, sauf les signes de ces termes, détermine sa composition. 



Quant aux signes, ils résultent de cette considération que, si deux séries 

 de coefficients de seconds indices communs sont identiques (ou seulement 

 proportionnels), il n'y a en réahté qu'une seule variable, /au lieu des deux 

 qui leur correspondent. Le dénominateur commun des valeurs doit donc 

 être nul ; les valeurs des inconnues devant être intinies pour satisfaire à 

 un nombre d'équations supérieur à celui des variables (*). Il en résulte que 

 la permutation de deux seconde indices change le signe du déterminant ; 

 soit, en employant une notation usuelle : 



0. 



(') H est superflu d ■ rerourir au développement d ■ la Ihéovie de réliminalion par subslilulion 

 pour démontrer ce l'ail algébrique : il suffit d'observer qu'il serait possible par substitution d'éliminer 

 autan d'inconnues que l'on voudrait en diminuant d'autant le nombre des équations restantes. 

 S'il ex'ste m équations pour w— i inconnues, il restera, linaleinenl, deux équations pour la seule 

 inconnue x. D'où : a; =: oo . 



