230 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



OU, en posant : 



(4) 2j ^ps- •^^ = ^- "^^p- 



Si maintenant nous faisons s = 0, le système (4) se réduira à un sys- 

 tème homogène entre les m équations, duquel les m variables x' pourront 

 être éliminées. Leurs valeurs, résultant du système (3), doivent donc être 

 indéterminées et, par conséquent, les valeurs des inconnues x infinies. La 

 condition de possibilité de l'élimination, c'est-à-dire le résultat de cette der- 

 nière, est donc que le déterminant dénominateur des valeurs des variables 

 satisfaisant aux équations (2) soit identiquement nul. 



3. — En se reportant, comme ci-dessus, à l'origine des déterminants, on 

 aperçoit immédiatement, et sans calculs, la propriété fondamentale des 

 déterminants mineurs. 



Soit A le déterminant du î?i'™^ ordre du système des m équations homo- 

 gènes 



2 "^'^ 



x.^0. 



Considérons à part la j)'*""'^ équation, et substituons, dans son développe- 



x^ 

 ment, aux variables les valeurs de leurs rapports — - à l'une des x^ d'entre 



elles, tirées du ^système des m — 1 équations restantes et que l'on a vues 

 plus haut être égales à : 



d^ 



il viendra immédiatement 



ce qui est la propriété énoncée. 



Nota. — Les démonstrations ci-dessus comprennent, à proprement parler, 

 la résolution générale dos équations du premier degré. 



