232 MATHEMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



rapport au centre du cercle fixe (p), relations qui permettent, dans beau- 

 coup de cas particuliers, de déterminer certaines parties des aires des 

 anallagmatiques. Ce sont ces relations que je me propose d'établir dans 

 cette note. 

 2. Soit (p) (fig. 39) un cercle fixe, P son centre, a son rayon et (fl)une 



courbe fixe quelconque; imagi- 

 nons une série de cercles décrits 

 de tous les points de (a) 'et cou- 

 pant orthogonalement la circon- 

 férence (p). L'enveloppe de tous 

 ces cercles variables sera une 

 courbe qui se compose de deux 

 branches (fj (e^). M. Mannheim a 

 démontré (*j ibid. que, en prenant 

 le point P pour pôle, cette enve- 

 loppe a pour équation polaire 



r^ — 2Qr + a2 = (1) 



où r est le rayon vecteur et Q une 

 fonction de l'angle polaire w telle, 

 que la courbe exprimée dans le 

 même système de coordonnées 

 polaires par l'équation 



p=û (2) 



représente la podaire (b) de la courbe (o) relativement au point P. 



En effet (1), soit (c) un des cercles enveloppés et a son centre ; cher- 

 chons les points où (c) touche son enveloppe. Ces points sont les intersec- 

 tions de (c) avec un cercle infiniment voisin (c') qui a un point a' de (a), 

 infiniment voisin de a, pour centre et qui coupe orthogonalement le 

 cercle (p). Ce dernier cercle étant orthogonal aux cercles (c) et (c'), son 

 centre P appartient à l'axe radical de (c), {c') et comme cet axe radical 

 doit aussi être perpendiculaire à la ligne des centres aa, il faut, pour avoir 

 cet axe, abaisser du point P une perpendiculaire sur aa'. A la limite, la 

 droite aa' devient tangente à la courbe (a) en a et la perpendiculaire Vb, 

 abaissée de P sur cette tangente, coupe le cercle (c) aux deux points c^, c^, 

 où (c) touche son enveloppe (?J, (e^). 



Le triangle q ac^ étant isocèle, on a : 



Fi^. 3'J. 



OU 



Pc-i rr: P6 4- bc, = Pb + bc^ = P6 + P6 — Pf, = 2 P6 — Pc, 

 Pq -I- Pc^ = 2 P6. 



(3) 



(*; Je reproduis ici l'éléganle démonslratioii de M. Mannheim. 



