Y. LIGL'INE. — SUR LES AIRES DES COURRES ANALLAGMATIQUES 237 



du plus grand ovale et les deux autres sont situés dans l'intérieur du plus 

 petit. L'o(iuation polaire des ovales de Descartes, l'un des trois foyers étant 

 pris pour pôle et l'axe de la courbe pour axe polaire, est de la forme 



/••- — 2 /• (// — b COS co) H- a- =: 0, (9) 



où a, 6 et a sont des constantes. Le cercle, qui sert de déférente, a son 

 centre sur l'axe de la courbe à la distance b du pôle et son rayon est égal 

 à a ; a désigne toujours le rayon du cercle fixe. 



On peut faire voir, par une discussion de l'éq. (9), que les deux racines 

 de cette équation répondant à une valeur déterminée de l'angle o) sont les 

 rayons vecteurs : 



1) de deux points situés sur l'un et l'autre ovale et d'un même côté du 

 foyer, lorsque c'est le foyer intérieur extrême qui est pris pour pôle du 

 système de coordonnées ; 



2) de deux points situés sur l'un et l'autre ovale et de différents côtés 

 dujoyer, lorscjuc le pôle est au foyer moyen; 



3) de deux points situés sur le- même ovale, lorsque le pôle est au foyer 

 extérieur. 



Ces conclusions tiennent à ce que l'éiuation polaire (9) ne représente, en 

 réalité, que l'ensemble de deux moitiés des ovales conjugués, disposées 

 d'un même côté par rapport à l'axe, quand le pôle se trouve au foyer inté- 

 rieur extrême, et de côtés différents, quand le pôle est au foyer moyen ou 

 au foyer extérieur. Pour avoir, dans chaque cas, l'équation de l'autre moi- 

 tié de la courbe complète, il faut changer de signe devant le terme conte- 

 nant la constante a, la courbe complète étant ainsi représentée par les deux 

 •équations 



r^ _ -2 r (b cos w + a) + y} = 0, ) 



r^ _ 2 r (b cos co — a) — x"" = 0, J ^ ^"^ 



telles que les points déterminés par l'une d'elles sont les images par 

 réflexion, relativement à l'axe de la courbe, des points déterminés par 

 l'autre équation. On est conduit à ces deux équations (10) en prenant l'équa- 

 tion des ovales de Descartes en coordonnées rectangulaires, dont l'origine 

 se trouve à l'un des foyers et dont l'axe des abscisses est dirigé suivant 

 l'axe de la courbe, et en y substituant aux coordonnées rectangulaires les 

 coordonnées polaires, l'un des foyers étant pris pour pôle et l'axe de la 

 courbe pour axe polaire ; on trouve ainsi une équation du 4"'^ degré 



(,.2 _ 2 6 r cos 10 -^ a*)^ — Aa^ r^ = 0, (H) 



qui se décompose en deux équations (10) (*). 



(*) J'étais arrivé à ces résultats, ainsi qu'à d'autres concernant les aires des ovales de Descaries, 

 lorsque je pris connaissance du très intéressant Mémoire de S. M.Roberts: On the avals of Descartes, 

 où ils se trouvent déjà exposes et auquel je renvoie, pai' conséquent, le lecteur. (V.i-'rotcoam^ji uf Uie 

 Londoii Mathcitialical Society, vol. lU, p. 106-) 



