• V. LIGL'INE. — SLK LES AIRES DES COUHBES ANALLAGMATIQUES 231) 



les aires telles que l\ c/" y/" Fj, V., f,'" y/" V\. quand l'éq. (9) est rap- 

 portée au foyer extérieur F3. Pour avoir, au lieu des sommes des aires : 



Fi tV Vi' F, - F. r.: y; V;. !<; r," y," F, ~ F, c," y/' F;'. 

 ^^■.i <\"' Ti'" F, -r- F, r,'" y.;" F,„ 



respectivement les sommes des aires 



i\ ,i; 5; F, - F, ,j.: 0.: f,. f, ./," o," f, -i- f, (/;' 5;' i-, 



F, <//" 0/" F, -- F, (/./" 0," F,. 



ou n'aura qu'à changer a en — a dans la iorm. (13), d'après ce (pn" a été 

 dit au n" 7 sur les éq. (10). 



Au moyen de la form. (13), on peut déterminer la somme S des aires 

 totales des deux ovales conjugués. En supposant le pôle au foyer intérieur 

 extrême, il faudra poser w' = 0, m" =z t. et doubler le résultat, puisque 

 chacune des deux éq. (lOj ne représente que l'ensemble des moitiés des 

 ovales conjugués. On trouve ainsi : 



S := r2 a- — If — a") t> -. (14) 



Cette formule admet une interprétation géométrique simple. Les ovales 

 de Descartes possèdent une tangente double et deux points de rebrous- 

 .sement qui coïncident avec les points circulaires à l'infmi. Les tangentes 

 à la courbe en ces points de rebroussement se coupent en un point nommé 

 foyer triple (*), dont les coordonnées sont ^ = b, m = 0. Si l'on écrit 

 de ce point conmie centre un cercle qui passe par les deux points de con- 

 tact de la tangente douljle, le rayon de ce cercle sera égal à v^2 a^ + 6'-' — a^ (**). 



L'éq. (14) exprime donc que la somme des aires totales des deux 

 ovales conjugués est le double de l'aire de la circonférence ayant le foyer 

 triple pour centre et passant par les points de contact de la tangente dou- 

 ble. Ce résultai a été déjà obtenu par M. S. Roberts, qui est aussi arriv,'. 



(*) V. Salmon, Hiylier plane curccb. 



(**) En elTet, si ron remplace duiis l'éq. (H) les cùurdunnées polaires par les coordonnées rec- 

 langulaires ayaul la même origine et l'axe des x dirigé suivant Taxe de la courbe, on 

 aura : 



[x'' + ?/' — 2 b X -{■ ct-f — Ml' {X- -\- y'') = 0, 



1'' qu'on peut écrii'i : 



l(x — b) ' + y- — 2 a- — W + ci)] ==/.«= {a- _ a' -f 2 6 x). 



<:ette équation montre que la droite 



a' — a' -\- i b X = 



eit la taui^eale double, et le cercle dont il s'agit a pour équation : 



{X — b) ^ + y^ — Z a' — b- + IX' = 0. 



