240 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



quoique par une voie différente, à la formule (13) (*). 



Lorsque a =r 0, les ovales de Descartes dégénèrent en une conchoïde 

 circulaire, dont l'équation est : 



r=:z'2 [a-]- b cos co), (15) 



et la form. (14) donne pour la somme des aires totales de la courbe et du 

 nœud de cette conchoïde, si a >■ 6, ou bien pour l'aire totale de la courbe, 

 si a <^ 6, 



S, = (-2 a'- + b% 2 ::, 



expression connue que l'on obtient soit en évaluant Faire de la conchoïde 

 (13), considérée comme épicycloïde (**), soit en calculant cette aire di- 

 rectement d'après les règles du calcul intégral. 



La différence E^ — E^ (n° 5) des aires comprises entre deux branches 

 correspondantes des ovales de Descartes, représentées par l'une des éq. 

 (10), la conchoïde (12) servant de podaire au cercle déférent et deux 

 rayons vecteurs issus du centre du cercle fixe et formant les angles w', w" 

 avec l'axe, s'exprime aussi en termes finis. La formule générale (7) donne 

 pour cette différence: 



1 



Ej — E2 = (a^ + "9" ^^ — t'-^) (^'^" — ^'•'') + ^ ^'^ (siii w" — siu co') 



! 



+-7- b- (sin 2 co" — siii 2 oj') (16) 



et pour la différence U des aires totales, en posant w' = 0. (o"[=r tt et 

 doublant le résultat : 



U = (2 a^ +6^ — 2 y}) TT, 

 ce qu'on peut écrire : U = (2 o^ -j- b" — -J) - — - f/\ (17) 



Cette formule exprime que la différence U est égale à la différence des 

 aires de deux cercles : du cercle considéré plus haut ayant le foyer triple 

 pour centre et passant par les points de contact de la tangente double, 

 et du cercle fixe orthogonal à toutes les circonférences enveloppées par les 

 ovales. 



8. Comme second exemple, considérons l'anallagmatique qui a pour 

 déférente une eUipse, dont le centre coïncide avec celui du cercle fixe. La 



(*) Voir le Mémoire cité de M. Roberts, p. 123. 



(**) Voir mon Mémoire Sur les aires des trajectoires décrites dans le mouvement plan d'une 

 figure de forme invariable, [Bulletin des Sciences mathématiques, 2' série, t. Il, année 1878.) 



