V, LIGUINE. — SUR LES AIRES DES COURBES AXALLAGMATIQUES '241 



podairc d'une ellipse relative à sou centre a pour équation, en désignant 

 par a et b les deux demi-axes et eu prenant le grand axe pour axe polaire, 



p2 = n' cos* M. -+- /;* sin^ co. 



En remplaçant Q^ par cette valeur dans les forui. (G) et (7), on obtient, 

 après toutes les intégrations et réductions : 



A, -I- A, =: («* + 6^ — v}) (co" — co') -+- -^ («^ — })') isin 2co"— sin ^2 co') 



F; — E,= -f 1 (a'^-T-^^ — "2 7/j{co" — co')— 4(r/'^ — 6''=)(sin2co"— siu2co'). 



Posons, dans la première formule, co' = 0, co" = tt et doublons le résul- 

 tat ; nous aurons pour la somme S des aires totales des deux brandies : 



S r= (a^ + 6^ _ rj}) -2 -T.. 



Dans le cas particulier, où a — « — h, il vient 



S = 4 71 a 6 ; 



donc, dans ce cas, la somme des aires totales est égale à quatre fois l'aire 

 de l'ellipse cpii sert de déférente. 



En posant a=^ h dans les formules précédentes, on arrive au cas où la 

 déférente est un cercle concentrique au cercle fixe ; Tanallagmatique se . 

 compose alors de deux cercles concentriques aux premiers. 



9. Considérons enfin, comme dernière application, l'anallagmatique ayant 

 pour déférente la spirale logarithmique 



p' := a6w, 



dont le pôle coïncide avec le centre du cercle lixe. Eu Nertu de cette pro- 

 priété que la tangente à la spirale logarithmique fait un angle constant 

 avec le rayon vecteur passant par le point de contact, on s'assure facilement 

 (|ue la podaire de cette spirale, relative à son pôle, est la même courije 

 tournée d'un certain angle autour de ce pôle et (jue l'équation de cette; 

 |)odaire (;st 



p m: c a 6w , 



c désignant les sinus de l'angle constant formé par la tangente et le rayon 

 vecteur. En portant cette valeur de p ou O dans les form. (6) et (7), on 

 obtient, toutes les intégrations etfectuées : 



Al H- A, = ^ {})'->' - b-'^^) - 7.' (co" - co'), 



J '''^•' , . 

 K - K -^ .TT7T ('>"" - ^■^" ) - -^'^ l^'^" - co'). 



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