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Remarques sur les inlégrales des équations aux différences par- 

 tielles j par M. Poisson. 



1822. 



Les Remarques suivantes sont extraites de plusieurs de mes Mémoires; Mathématiques. 

 elles sont relatives à la généralité des intégrales des équations linéaires aux 

 diOérenees partielles. C'est un point sur lequel il importe de ne laisser 

 aui un doute, afin qu il n'en reste non plus aucun sur les solutions des pro- 

 blèmes de physique ou de mécaniqui^ qui se déduisent de ces inli'fi;rales. 

 Pour fixer les idées , il ne sera question ici que des équations à coenieients 

 constants; des remarques analogues pourront aisément s'aj)pliquer aux 

 autres équations linéaires. 



Soit donc L = une équation de celte espèce, d'un ordre quelconque, 

 et contenant aussi un nombre quelconque de variables indépendantes; 

 désignons ces variables par t, x, ?/, etc., et par (p la variable principale; 

 Sup|josons que cette équation linéaire à coefficients constants, ne renfernie 

 aucun Itrme indépendant de (pon de ses différences partielles: ou y pourra 

 alors satisfaire en prenant 



, tp 4- qx -\- hy + etc. 



A, p, g, h, etc., étant des constantes indéterminées, et e désignant la 

 base des logarithmes népériens. Si l'on substitjie cette valeur de ip dans 

 l'équation L — o, la constante A restera arbitraire; une si-ide des autres 

 constantes . p, par exemple, sera déterminée en fond ion de g. h, etc.; 

 en sorte que, y compris le coefficient A, cette valeur de ip renfermera un 

 nombre de constantes arbitraires égal à celui des variables indépendantes. 

 L'équation qui déterminera ce, sera d'un degré égal à l'indice de la plus 

 haute différence partielle relative à t qui soit contenue dans L = o; en 

 désignant ses racines par p, p' , p', etc., on pourra les employer succl-s- 

 sivenientdans la valeur de ç; on pourra aussi changer arbitrairement les 

 quantités A, g, h, etc., et prendre pour -p la somme des valeurs particu- 

 lières qui résulteront de ces changements, ce qui donnera 



tp-{-gx-\-htj + ^\c. tp' +gx + hy+etc. 



<p = .^Ae + 2. Ae ; (aj 



les caractéristiques Z indiquant des sommes qui s'étendent à toutes les 

 valeurs, réelles ou imai^inaires, de A, ^ , h, etc. Non-seulement cette 

 expression satisfera à l'équation L = o , mais j'ai démontré rigoureuse- 

 ment (*) qu'elle en sera l'intégrale complèle, développée en série d'expo- 

 nentielles, de manière que toute valeur de ;, qu'on aura trouvée par un 

 moyen quelconque, et qui satisfera à l'équation L=::o, sera certainement 



(*) Bulteli II de novembre 1817. 

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