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des infégrnlcs clans tous les cas possibles , sert en même temps à calculer, 

 avec telle approximation que l'on veut, les valeurs des intégrales parlicu- 

 lières correspondantes à des valeurs données des variables. 



Pour distinguer, rel.itivemcnt aux équations dillérentielles du premier 

 ordre, les inléi;rales singulières d'avec les intégrales parliculièrtfs , il siilFil 

 d'appliquer la règle que j'ai lait connaître dans un INlémoire lu à l'Institut 

 le i3 mai 1816. D'après cette règle, que l'on démontre rif^outeuscnient 

 sans le secours des séries, pour juger si une certaine valeur de y, par 

 exemple , 



Î/=F(«') 

 est une intégrale particulière ou singulière de l'équation différentielle 



on doit recourir, non pas à la fonction dérivée 



df[x, y) 



mais à 1 intégrale définie 



dy 



h 



J{x.y)-J{x, Fx)' 

 l'intégration étant effectuée par rapport à y seule, et à partir de yz=.V [x). 

 Suivant que cittc intégration donnera pour résultat une quantité finie ou 

 infinie, 7/ = F (a") sera une intégrale singulière ou une intégrale particu- 

 lière. Ainsi l'on peut afTirmcr que la valeur y :==.x vérifie, comme iulégralc 

 singulière, 1 équation difrerculielle 



» + (?/ — »') J (i^^; 



et, comme intégrale particulière, les deux suivantes: 

 '"^2/ = [' + (?/ — a;)] (/x, 

 dy = [i + {y- oc) log. {y — x)] dx, 



attendu qu'en effectuant les intégrations relatives à y, à partir dey =£C, 



ou trouve 



dy=i 



II 



dy l 

 1 = 2 (y - a:-) \ 



~- = log. iy-x) — log. O = 00 , 

 y '*' 



=1 iog. log. log. log. — = . — 00. 



(^— a.) log. [y—d:) ^' '°' y -X 



Quant à l'intégration des équations aux différences partielles, il ne 

 semble pas possible, dans l'étal actuel de l'analyse, d'assigner les carac- 



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