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se réduire pour a? = o. Par conséquent , si celte fonction est connne pour 

 toutes les valeurs possil)les de y, i! semble que la valeur <Ip z sera eouiplè- 

 tement déleruiiuée. Néanmoins il n'en est pas ainsi. Concevons en effet 

 que l'équation donnée soit la suivante : 



dx y y'j dij^ 2/3 dtj 



et désignons par <p{y) la fonction de y, à laquelle z doit se réduire par 

 a; = o. La valeur de s, déduite de l'équation (4) par le développement 

 en série , prendra la forme 



'L + etc.. 



(5) .=,w + ^[(, + ±)f(;iâL)_i;i.(.)] 



Tous les termes de la série précédente étant des fonctions déterminées des 

 variables x et y, lorsque lu fonction (p {y) est elle-mênie déterminée, il 

 semble en résulter qu'une seule valeur de z remplira la double condition 

 de vérifier l'équation aux différences partielles proposée, et de se réduire 

 à ip (y) pour x = o. Néanmoins il est facile de s'assurer que , si l'on satis- 

 fait aux deux conditions énoncées par une certaine valeur 



(6) z = x{^,y), 



on y satisfera encore en attribuant à s la valeur plus générale 



(7) 3 4x , 

 s = % (a?, 2/) + ca; e 



dans laquelle c désigne une constante arbitraire. 



Après avoir montré ViusufTisance des méthodes d'intégration fondées 

 sur le développement en séries, il me reste à dire en peu de mots ce 

 qu'on peut leur substituer. 



Pour déterminer le nombre des constantes arbitraires que comportent 

 les intégrales générales des équations différentielles entre deux ou plu- 

 sieurs variables, et pour démontrer l'existence de ces mêmes iuti'grales, 

 il suffit d'employer les méthodes que j'expose depuis plusieuis années 

 dans mes leçons à l'École Polytechnique. Ces méthodes seront l'objet d'un 

 nouveau Mémoire. La détermination du nombre des constantes arbitraires, 

 en particulier, repose sur le théorème suivant. 



Si ime fonction (sr [x) de la variable x s'évanouit pour a; =: o, le rapport 

 de cette fonction à sa dérivée , savoir : 



œ (x) 



Z'ïxY 



s'évanouira lui-même quand on fera décroître la variable x au-delà de 

 toute limite. 



J'ajoutenii que la méthode dont je fais usage pour démontrer l'existeuce 



