rigoureuse les maxima ou minima des fonctions, et les véritables valeurs * d22. 



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des fractions qui se présentent sous la forme — , on emploie la série de 



Taylor, non paS en la regardant comme composée d'un nomhre infini 

 de termes, mais en la complétant par un reste dont la valeur demeure 

 comprise entre certaines limites. 



Après les considéralions que nous venons d'exposer, on ne sera pas 

 surpris de trouver en défaut dans certains cas des propositions générales 

 établies par le moyen des séries. Nous nous contenterons de citer à ce 

 sujet les exemples qui suivent. 



Soit (2) dyz=if[x,y).dx 



une équation différentielle entre les variables a:, y; et 



y = F (a-) 



une valeur de y propre à vérifier cette équation. On démontre, par le 

 moyen des séries, que celte valeur de y est une intégrale singulière, toutes 

 les fois qu'elle rend infini le coelficieut dilférenliel 



df{,x, y) 

 dy 

 Mais cette proposition n'est pas toujours vraie. Ainsi , l'on satisfait à l'é- 

 quation différentielle 



(3) </2/ = [i + (1/ — a?) log. (2/ — a;)] t/a?, 



par la valeur y z= ce, qui rend infinie la fonction 



■i[. + (:V-x)H.(.-x)l ^ . + log. (,-.); 



et cependant y = œ, au lieu d'être une intégrale singulière, est tout sim- 

 plement une intégrale particulière, puisqu'elle se trouve comprise dans 

 l'intégrale générale , savoir : 



X 



'%'• (y — ^) =c.e . 

 C'est encore par le moyen des séries que l'on détermine le plus souve?it 

 le nombre de constantes ou de fonctions arbitraires que doit renfermer 

 l'intégrale générale d'une équation différentielle, ou aux différences par- 

 tielles. Toutefois ce mode de détermination ne saurait être considéré 

 comme suffisamment exact. Supposons, pour fixer les idées, qu'une écjua- 

 tion linéaire aux différences partielles renferme avec les variables indé- 

 pendantes œ, y, et la variable principale s, 1° la dérivée partielle du 

 premier ordre de c, par rapport à a;; 2° une ou plusieurs dérivées pailieîles 

 de z, relatives à y. Dans ce cas, la valeur générale de z pourra êJre repré- 

 sentée par une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de x, et 

 qui ne renfermera d'arbitraire que la foncliou de y, à laquelle z est censée 



