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ou bien 



I 



x''{a-\-ix-\-cx^ -^....) 



f{x)=e 



a désignant une constante positive, et a + ('cc -f cic' + etc.... une fonction 



entière de x; ou simplement 



f{x)=e , 



la variable x étant assujettie à demeurer constamment positive, etc.... 

 On peut donc trouver pour /(a) une infinité de fonctions difl'érentes, 

 dont les développements en séries ordonnées suivant les puissances ascen- 

 dantes de X se réduisent à zéro. 



On serait naturellement porté à croire qu'étant données les quantités 

 f(o),f'(o), f'io)...., l'équation (i) fera du moins connaître la valeur 

 diif{x) toutes les fois que la série comprise dans le second membre restera 

 convergente. Néanmoins il n'en est pas ainsi. En effet, nommons ^(ic) 

 une fonction développable par le théorème de Maclaurin en série conver- 

 gente, et, déplus, équivalente à la somme de la série obtenue; désignons 

 par ■>^[x) une autre fonction dont le développement se réduise à zéro : 

 les deux fonctions 



cp {x) et <p[x) + % {x) , 



distinctes l'une de l'autre, auront pour développement une même série 

 convergente. Par exemple, les fonctions 



— ce' —X^ X' 



e et e + e , 



ont pour développement commun la série convergente 



X' œ' X 

 i j z + etc. . . . , 



1 1.2 1 .2.J 



dont la somme équivaut à une seule d'entre elles. 



11 suit de ces remarques qu'à une seule série, même convergente, cor- 

 respondent une infinité de fonctions différentes les unes des autres. Il n'est 

 donc pas permis de substituer indislinctement les séries aux fondions, et 

 pour être assuré de ne commettre aucune erreur, on doit borner cette 

 substitution au cas où les fonctions, étant développables en séries conver- 

 gentes, sont équivalentes aux sommes de ces séries. Dans toute autre 

 hypothèse, les séries ne peuvent être employées avec une entière confiance 

 qu'autant qu'elles se trouvent réduites à un nombre fini de termes, et 

 complétées par des restes dont on connaît les valiins txactes ou appro- 

 chées. Ainsi, en particulier, lorsqu'on veut déterminer pur une méthode 



