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 Sur le développement ries fnnelions en séries , et snr rinfés!;rr/tion 

 des équations différenlh-lles , ou aux différences partielles ; 

 par M. Augustin Cauchy. 



Pour découvrir ei démontrfip 1p<5 propriétés les plus remarquables des Mathématiques. 



fondions, on a soiivrnl employé leur développement en séries, ou suites 



inBiiies, c'est-à-dire composées d'un nombre infini de termes; et, p;irmi Ac.idéraie royale des 



les géomètres, ceux même qui ne se sont pas résolus, suivant la méthode Srieuces. 



de l.a Grange, <à faire de ce développement la principale base du eaictd Jauvier i8aa» 



inniiitésimal , s'en sont du moins servis pour établir plusieurs théories 



iniporlaiitcs; par exemple, pour déterminer le nombre des constantes 



arbitraires, ou des fonctions arbitraires que comportent les intégrales 



générales d'-s équations ditrérentielies, ou aux différences |)artielles, pour 



calculer ces intégrales, pour fixer les caractères auxque's on doit rccon- 



naî're les solutions particulières, ou intégrales singulières, des équations 



différentielles, etc. Toutefois, en remplaçant les fonctions par des séries, 



on suppose implicitement qu'une fonction est complètement caractérisée 



par un développement composé d'un nombre infini de termes, au moins 



t;mt que ces termes obtiennent des valeurs finies. Par exemple, lorsqu'on 



substitue à la fonction /(a?) la série de Maclaurin, et que l'on écrit ea 



couséquence 



(') /H = /(o) + y/'H + ^/"(o) + etc.. 



1 1 • ^ 



on suppose qu'à un système donné de valeurs finies des quantités 



yHv/'H'/"H' etc.. 

 corn^spond toujours une valeur unique de la fonction ./(.t). Considérons^ 

 pour fixer les idées, le cas le plus simple, celui où les quantités J (o) , 

 J (") • J (")' etc.. s'évanouissent toutes à la fois. Dans cette hypolhèe, 

 on devr.i.ee semble, conclure de l'équation (i) que la fonction /(.r) 

 sé\anouit elle-même. INéanmoius cette conclusion peut a être pas exacte. 

 lin effet, si l'on prend 



1 



f{x)z=6 



on trouvera 



/■(o) = o , /' (o) = (o) , /' (o) = o . etc. .. 



ïl en serait encore de même, si l'on supposait 



. sui. X 

 Livraiso?i d'avril. 



