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 point do vue, et de déduire ces valt^urs d'une niélhode uniforme, qui 

 fût propre à rendre raison des exceptions el des difTicnllcs qu'ollcs pré- 

 sentent : c'est principalement ce que je nie suis proposé de faire dans ce 

 prcmitr article. Les expressions qui représenlcnt les sommes de ces sé- 

 ries en fom'lioiis de l'angle varialiie, ne subsistent que pour des valeur-^ 

 de cet angle, comprises entre tics limites déterminées; ces fonctions ne 

 sojit point égales identiquement aux séries qu'elles expriment ; et si elles 

 n'ont lieu , par exemple, que poin- des valeurs positises de la variable, il 

 pourra arriver que la fonction correspondante a ime série de sinus, con- 

 tienne des puissances paires de l'angle, et que la fonction qui répond à 

 une série de cosinus, renferme des puissances impaires, sans que cela soit 

 absurde, puisqu'il ne sera pas permis d'échanger le signe de la variable 

 dans ces expressions. D. Bernoulli a donné un grand nombre de ces résul- 

 tats, parmi lesquels il nous suflirade citer pour exemple cette équation : (*) 



l I 1 COS. 2 X COS. 3 .V COS. 4 ■'^ , . 



— X' Troc ^ — 7:' = COS. ce -\ ~ -\ -}- -— , h etc. , 



4 a b 4 9 "> 



dans laquelle t représente le rapport de la circonférence au diamètre, et 

 qui a lieu pour toutes les valeurs de x, comprises depuis x'.=.o pisqu a 

 a? .-=: 2 3-. Mais il est à remarquer que l'on fera toujours disparaître la singu- 

 larité que présentent cette équation et toutes les formules du même genre, 

 en transportant l'origine de la variable au milieu de l'intervalle de ses 

 valeurs, pour lesquelles chaque équation subsiste; ainsi, en mettant dans 

 l'équation précé<!ente x — -à la place de a?, elle aura lieu ensuite depuis 

 ic = — - jusqu'à xz=z -\- -, et elle deviendra 



57= a = COS. 2 .r COS. 5 X cos. 4 ■^' ■ 



= cos. X — 1 -. h etc. ; 



12 4 4 9»'* 



équation dont le premier membre ne contient plus que des puissances 

 pair<'S de x. 



La question qui fait l'objet du second article est l'inverse de celle que 

 j'ai traitée dans le premier: il s'agissait, dans celui-ci , d'exprimer une 

 série infinie de quantités périodiques par une fonction finie et connue; 

 dans l'article second, il s'agit, au contraire, de transformer une fonction 

 donnée en une série de sinus ou de cosimts qui puisse en représenter 

 les valeurs, pour toutes les valeurs réelles de la variable comprises dans 

 un intervalle déterminé. D. Bernoulli a résolu cette question, pour une 

 classe trèsrnombreuse de fonctions rationnelles ( t entières, et la formule 

 citée plus haut en offre un exemple particulier; mais la solution de ce 

 problème, |)our une fonction quelconque, continue ou discontinue, se 

 trouvait déjà dans les Mémoires de Lagrange sur la Théorie du son, et 

 encore plus explicitement dans ses recherches subséquentes swrr/i/Z'éreîifs 



(*) Mi moires de Pétersbourrj, année 1772. 



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