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 a li('ii pour 1» s valt iirs imaf^inains tli; x : les inlégrairs sont prisrs clopuis 

 a o jusqu'à « = oc , el depuis a;' r= — oC jusqu'à x' z= + C^. C'est 

 uu<; qu( ^tiuii que j'ai aussi exauiiiiée dans ce seeond arlielc de mon Mé- 

 ni<iire. tl j'ai iKiuvéque ces formules uesonl pas généralement applieables 

 aux valeurs imaginaires des variables ; ainsi en suj)|)osau( que pel fj soii ut 

 des quanlilés réelles, et l"aisaul a? = p -f q J/'— i dans la furmulc précé- 

 denlt;, elle ne représentera pas, eu général, les valeurs de /'(/; (j \/ — i ); 

 et :-i l'on veut s'cu couvçiiucre par uq exemple très-simple, il suûira de 

 prendre 



fx' ' 



1 () 2 2. 



les intégrations relatives à «eto;' s'effeetueront par les méthodes eounues; 

 lé résidtat auquel elles conduiront coïncidera , il est vrai, avec la valeur 

 de f{j} -f f/ j/^^), pour toutes les valeurs de <7 plus petites (|ue l'ui iié; 

 mais d n'en sera plus de même, lorsque q surpassera l'uiiilé, abstraction 

 faite du signe; et, dans ce cas , la double intégration conduira à un ré- 

 sultat entièrement indéterminé. 



Le troisième article est relatif à l'intégration des équations aux diffé- 

 rences 2>artielles à deux termes, ou comprises sous cette foruie : 



d'z (fz 



dy" dx' 



La méthode que j'ai suivie consiste à exprimer, par des intégrales définies, 

 les séries ordonnées suivant les juiissancts de x e' de j/, qui représentent 

 l'intégrale complète de cette équation. Dans le cas général où m et n sout 

 des nundjres quelconques, ces intégrales sont doubles; mais on parvient 

 souvent à les réduire à des intégrales simples, et c est ce qui arrive, par 

 exemple , dans le cas particulier de l'équation 



dz rf's 



di/ dx^ * 



relative à la théorie de la chaleur. Son intégrale sous forme finie peut être 

 exprimée sous deux formes dilférentes : l'une, qui ne contient qu'une 

 seule fonction arbitraire, et à ia(|uelle on parvient en parlant de l'inté- 

 grale en série ordonnée suivant les puissanci-s de y; et l'autre, qui n n- 

 ferme deux fonctions arbitraires, et qu^ l'on déduit de l'intégrale en 

 série ordonnée par rapport à x. La première est l'intégrale connue 



ZZ=—-~le t' {X 4- 2Ci \/y ) dx, 



= -— - le F {x -\- 2Ci \/y ) da 



V ■^ ' 



dans laquelle la fonction arbitraire Yx représente la valeur de z corres- 

 pondante à y = o. La seconde n'avait pas encore été donnée; elle est 

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