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Méjîioîre sur les intégrales définies , où Von fixe le nombre et la 

 nature des constantes arbitraires et des fionctions arbitraires 

 que peuvent comporter les valeurs de ces mêmes intégrales 

 quand elles de<Aennent indéterminées; par M. Aug. Cauciîy. 



DA^'S mon premier Mémoire sur les intégrales définies, présenté à Matuematique*. 

 rinslilul le 22 août i8i4 (*)) j'avais remarqué qu'une intégrale double 

 peut devenir indéterminée, et j'avais appris à former à priori la différence 

 entre ies deux valeurs qu'on obtient pour une intégrale de cette espèce, 

 suivant l'ordre qu'on établit entre les deux intégrations. De plus , dans 

 mes leçons à l'Lcole Polytechnique, et dans celles que j'ai données, en 

 1817, au Collège royal de France, en remplacement de M. Biot, après 

 avoir observé que les intégrales simples peuvent être finies, ou infinies, 

 ou indéterminées, j'ai indiqué les moyens, non-seulement de distinguer 

 ces trois sortes d'intégrales, mais encore de fixer la nature des constantes 

 arbitraires que comporte une intégrale simple indéterminée. Une partie 

 des principes sur lesquels je me suis appuyé se retrouve dans mou 

 Mémoire sur les solutions particulières, présenté à l'Académie royale des 

 Sciences le i3 mai iSiG. Les formules nouvelles que j'ai déduites de ces 

 mêmes principes, particulièrement celles que j'ai données dans le Mé- 

 moire de 1814. et dans mes leçons au Collège de France, sont d'une très- 

 grande généralité. Le plus souvent les intégrales dont elles fournissent les 



valeurs renferment, sous le signe /, des fonctions arbitraires dont on peut 



disposer à volonté. Ces mêmes formules comprennent, comme cas par- 

 ticuliers, lin grand nombre de celles qui étaient connues avant la publi- 

 cation de mon Mémoire, et plusieurs autres auxquelles on est parvenu 

 depuis par des mélhodos différentes, par exemple, à l'aide du dévelop- 

 pement en série. Toutefois il est essentiel de remarquer que l'on ne peut 

 compter sur les valeurs des intégrales déterminées à l'aide de cette der- 

 nière méthode, qu'autant que les séries dont elles représentent les som- 

 mes sont convergentes. Les méthodes dont j'avais lait usage n'offrent pas 

 cet inconvénient. L'imporîancc des résultats auxquels elles conduisent, 

 m'a fait penser qu'il serait utile de montrer toute l'exlen.sion dont elles 

 sont susceptibles, et d'en indiquer les principali^^ conséquences. Tel est 

 l'objet du Mémoire que j'ai présenté, le 28 octobre dernier, à l'Académie 



(*) Ce Jlcninire, qui sera liicnlôt publié, a été appionvé par l'Institut , sur un rap- 

 port de M. Legciulrc, daté du <- iiovemlire 1814, cl dont les couclusione se liouveut 

 imprimées dans V Analyse des travaux de l'Institut pendant la même aimée. Ds plus, 

 M. Poisson^ a donné un extrait de ce Mémoire dans le Bulletin de la Soeic'lé Pliiloma- 

 tique, de décembre i8i4. 



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