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royale des Sciences. 'Ne pouvant en offrir ici qu'une analyse très-courte, je 

 rappellerai d'abord quelques-uns des principes sur lesquels je m'appuie; 

 je citerai ensuite quelques formules générales, que je choisirai de préfé- 

 rence parmi celles que j'ai données dans le Mémoire de i8i4, et dans 

 mes leçons au Collège de France. 



J'appelle intégrale définie singulière, une intégrale prise relativement 

 à une ou à plusieurs variables, entre des limites infiniment rapprochées de 

 certaines valeurs particulières attribuées à ces mêmes variables, savoir, de 

 valeurs infiniment grandes , ou de valeurs par lesquelles la fonction sous 



le signe / devient infinie ou indéterminée. Ces sortes d'intégrales ne sont 



pas nécessairement nulles, et peuvent obtenir des valeurs finies ou même 

 infinies. Supposons, par exemple, que la fonction J [oc) devienne infinie 

 pour scz=.x^. Désignons par A un nombre infiniment petit, par/„ la vraie 

 valeur du produit kf {x^ + k) , correspondante à une valeur nulle de /c, 

 el par ce' , ce" deux constantes positives. L'intégrale singulière 



(l) f f{P)'i^ 



X, + A- «' 

 sera équivalente à l'expression 



et par conséquent elle dépendra, l'de la racine a5„ de l'équalioa —— =0, 

 2* de la constante arbitraire -^. Ajoutons que les deux intégrales 



J f{x)dx, f f{œ)dx 



x„+A«' x,-.'«" 



seront égales et de signes contraires, à moins que, pour des valeurs dé- 

 croissantes de k, les deux produits kj[x^ + '' ) . — ^'Ji^" — ^) "^ 

 convergent vers deux limites différentes. 

 Considérons maintenant l'intégrale double 



(5) ' iffi^^y) ^ ^V' 



et supposons d'abord, que, la fonction /(ic, tj) devenant infinie ou in- 

 déterminée, quel que soit x, pour y ="F [x) , les intégrations relatives 

 à 1/ et à a? doivent être effectuées, la proniièrc entre les limites 



yz=¥{x)+kQ', y=F{x) +k<^\ 

 k désignant un nombre infiniment petit, et C, S' deux fonctions posi- 



