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 tives mais arbitraires de x; la seconde entre les limites constantes 



a; = cc', X'=:a[>". 



Si l'on nommey^ la vraie valeur du produit // (ce „, F{cc) 4- A), corres- 

 pondante à A- = o , la valeur de l'intégrale singulière proposée sera 



M) Jf. 



dx. 



Cette intégrale dépendra donc non-seulement de la fonction déterminée 

 de œ , que nous avons représentée par F [x) , mais encore de la fonction 



T.- . É" 



arbitraire — p- . 



Supposons enfin que la fonction /(«, y) comprise dans l'intégrale (3) 

 devienne infinie pour un système isolé do valeurs de x et de ?/, repré- 

 sentées par x^, y,, et que chaque intégration doive être effectuée entre des 

 limites constantes ou variables, mais très-rapprochées de ces valeurs; 

 alors , en posant x :=zx„ + r cos. p, y ^= y„ + *' sin. p, on transformera 

 l'intégrale (3) en cette autre 



// 



f{x^ -f- r cos. p, y^ + ^ S'n. p). rdrdp, 



dans laquelle l'intégration relative à r sera la seule dont les deux liniitesi 

 restent infiniment voisines. Si ces limites sont de la forme kp' , kf"; p' , p" 

 désignant deux fonctions positives de p, et si, de plus, on appelle fl la 

 vraie valeur du produit kf {x„ -j- k cos. p, y^ + k sin. p) , correspondante 

 à k = o, l'intégrale (5) deviendra 



(5) ffjUpj.dp 



p" 



Elle dépendra donc de la fonction arbitraire —. — Dans un grand nom- 



p ., 



bre de questions qui se résolvent à l'aide des intégrales singulières, la 



fonction C est de la forme 



h 



a COS. ' p -y- iù COS. /) sin. p -\- c sin. * p ' 

 a, b, c, h désignant des quantités constantes. Alors, en attribuant à p' , p" 

 des valeurs constantes, et supposant l'intégrale (5) prise entre les limites 

 p =o, p = a-, on trouve cette intégrale équivalente au produit 



2 5r/t 



en niultipl 

 pour équation 



qu'on obtient en multipliant 2hi | — p- j par la surface de l'ellipse qui a 



ax' -j- 2bxy -\- cy' z=. i. 



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