(page iSg), se déduisent avec la plus grande facilité d'un théorème que 

 j'ai donné dans le Mémoire de i8i4 [a* partie, § 5*], et qui sert à dé- 

 terminer la valeur de l'intégrale 



/ /W 



dx 



lorsque la fonction /(x + y »/— i) s'évanouit, quel que soit y, pour 

 des valeurs infinies deo", et quel que soit ce, pour des valeurs infinies posi- 

 tives de y. Ce théorème, dont j'ai fait de nombreuses applicalions dans 

 mes leçons au Collège de France, sera l'objet d'un second article, dans 

 lequel je m occuperai, en outre, de la transformalion des intégrales singu- 

 lières ou indéterminées en intégrales définies ordinaires, et de l'usage des 

 intégrales sijigulièrcs dans la sommation des séries. En attendant, parmi le 

 grand nombre de formules nouvelles que fournit le théorème en question, 

 je citerai l'une des plus simples, savoir : 



(34) / a? sin. | bx j 



dx 1 



= — TT e 



o 



a, h désignant deux constantes positives dont la première, sans êtrtr 

 nulle, demeure comprise entre les limites o et a. 



Dans ce qui précède, nous avons considéré chaque intégrale définie, 

 prise entre deux limites réelles, comme n'étant autre chose que la somme 

 des valeurs de la différentielle qui correspondent aux diverses valeur* 

 réelles de la variable renfermées entre les limites dont il s'agit. Cette ma- 

 nière d'envisager une intégrale définie me paraît devoir être adoptée de 

 préférence, parce qu'elle convient également à tous les cas , même à ceux 

 dans lesquels on ne sait point passer généralement de la fonction placée 



sous le signe 1 à la fonction primitive. Elle a, de plus, l'avantage de 



fournir toujours des valeurs réelles pour les intégrales qui correspondent 

 à des fondions réelles. Enfin elle permet de séparer facilement chaque 

 équation imaginaire en deux équations réelles. Tout cela n'aurait plus lieu, 

 si l'on considérait une intégrale définie prise entre deux limites réelles, 

 comme nécessairement équivalente à la différence des valeurs extrêmes 

 d'une fonction primitive même discontinue, ou si l'on faisait passer la va- 

 riable d'une limite à l'autre par une série de valeurs imaginaires. Dans ces 

 deux derniers cas on obtiendrait souvent , pour les intégrales elles-mêmes , 

 des valeurs imaginaires semblables à celle que M. Poisson a donnée pour 

 la suivante 



J 



00 



COS. ax 



d» 



X' — L* 



102 2. 



