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 titc réelle — log. (4),ou log". (2), laquelle est préelsémcnt la valeur prio- 

 eipale de l'inlégrale proposée. 



Post-Scriptum. Il serait facile de parvenir aux équations (3i) et (33), 

 en partant des équations (29) et (5o). De plus, lorsque lo développement 

 de f (ccj , c'cst-à-dirc , la série 



f(o) + lf/(o)+ -i— f"(o) + etc., 



est convergent pour tontes les valeurs de m inférieures à l'unité, les for- 

 mules (28), (29), (3o), (5i) et (35) se déduisent direcloment d'un théo- 

 rème de IM. Parseval sur la sommation des séries, théorème qu'on peut 

 énoncer comme il suit. 

 Si l'on pose 



(p (a-) = <7„ -f a, ce -\- a^x^ + ctc , 



X {^) = i>o + l'.x + <',«' + etc., 

 et 



(38) sj. {x) ~ a,i, -{- a,l,x + a.l^x' + etc., 



on aura 



a- 



182 



(37) { 



(■39) 4'(«-î/)=-^/{^(^/^ ')x{yc ^^ ')+?(a.e •'"' ')x(2//''' ")]<fp 



o 

 = -±-/^ixe"^'-')Uye-^"'-')clp. 



Ce théorème, que l'on démontre immédiatement par le développement 

 des fonctions que renferment les deux membres de l'équation (39) en 

 séries ordonnées suiianl les puissances ascendantes des variables x et y, 

 se trouve ainsi rigoureusement établi pour toutes les valeurs d'à; et dy 

 qui rendent ces séries convergentes, cl par conséquent pour toutes celles 

 qui rendent convergentes les séries suivant lesquelles se développent 

 ç> {x) et xiy)- Dans le cas particulier où l'on prend x ::= i , t/ == 1, 

 l'équation (39), multipliée par n-, se réduit à 



(4o) .4. (0 =~ f{, {e''^-') X (.-^^-') + ^ {e-'''-') X (/'^~') } <lp. 

 o 

 On tirera de celle-ci 



