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L'auteur commence par déduire d'une formule que 

 Poisson a donnée dans son Mémoire sur le calcul numéri- 

 que des intégrales dé jinies {iom. Vï des J/m. de Unst.), 

 la valeur de l'expression 



^=w £1-1/— 1 '2^1/=^, 

 1 e" ^ e" ^ , 



x=zi 



d'où il déduit ensuite par des transformations algébriques 

 une formule qui, quoiqu'en apparence plus générale que 

 la formule (5) de mon mémoire du 5 avril 1850, s'en déduit 

 immédiatement en y changeant q en 2g. M. Genocclii fait 

 voir ensuite qu'on peut arriver très-simplement aux mêmes 

 résultats en partant des célèbres intégrales aux sommes 

 alternées de M. Gauss. 



Mais je dois faire remarquer que les transformations de 

 l'auteur supposent connu le signe du radical qui entre 

 dans ces intégrales; or, on sait que la détermination de ce 

 signe offre de grandes difficultés et que M. Gauss n'y est 

 parvenu qu'à la suite de recherches très-profondes. 



En partant d'une formule que j'ai donnée dans le t. XXIIÏ 

 des Mémoires des savants étrangers, l'auteur en déduit d'a- 

 bord une formule que M. Eisenslein avait déjà rapportée 

 dans le t. XXVII du Journal de M. Crelle , et qui permet 

 d'exprimer, par une suite trigonométrique finie, la partie 

 entière d'un nombre quelconque, et par conséquent aussi 

 le résidu de la division d'un nombre par un autre. Il ar- 

 rive ainsi à la détermination de plusieurs intégrales déjà 

 connues , et fait voir que l'intégrale 2^r;V;, qui avait 



résisté aux efforts de plusieurs géomètres, dépend de la 

 différence du nombre de résidus pairs et de celui des 

 résidus impairs du nombre n, différence dont, à la vérité, 



