66 MATHÉMATIQUES. ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Les comptes rendus de ce Congrès de 1875 contiennent un mémoire de 

 M. Ed. Collignon, reproduisant sa communication Sur la résolution des équa- 

 tions numériques. La méthode consiste essentiellement à mettre l'équation pro- 

 posée sous une forme qui contribue à augmenter les accidents de la fonction 

 entre les limites où sont comprises les racines. 



On arrive ainsi à augmenter de beaucoup la valeur pratique des procédés 

 graphiques utilisés ordinairement pour la recherche des racines. La séparation 

 se fait simplement, rapidement dans beaucoup de cas ; elle n'exige que 

 quelques calculs et de petits croquis à main levée. 



L'intéressant mémoire de M. Collignon se termine par l'indication de 

 tableaux graphiques, construits une fois pour toutes, et permettant de résou- 

 dre les équations du troisième et du quatrième degré, au lieu d'obliger à la 

 construction d'une épure spéciale pour chaque cas particulier. 



1876 



C'est à partir du Congrès de Clermont-Ferrand que les communications sur 

 l'analyse algébrique deviennent de plus en plus nombreuses. M. Edouard 

 Lucas, le jeune géomètre bien connu pour ses belles recherches sur la 

 théorie des nombres, fait dans cette session une communication Sur la recherche 

 des grands nombres premiers. 



Le mémoire de M. Lucas a pour objet l'étude de la décomposition ou de 

 l'irréductibilité des grands nombres en facteurs premiers. On sait que ce pro- 

 blème est considéré comme l'un des plus importants, des plus utiles, et en 

 même temps, des plus difficiles, dans l'arithmétique transcendante (*). Les 

 nouvelles méthodes reposent sur une idée fondamentale, l'étude des fonctions 

 symétriques des racines d'une équation de degré quelconque à coefficients co m - 

 mensurables, et sur la réciprocité d'un théorème de Fermât, qui sert de base 

 à l'arithmétique moderne. Si l'on désigne par a un nombre quelconque, non 

 divisible par le nombre premier jy, le nombre a^^""" — 1, est un multiple de;); 

 mais la réciproque de ce théorème n'a pas lieu nécessairement. Cependant, on 

 peut énoncer la proposition suivante : Si a^^ — 1 est divisible par p, pour 

 x=p—i et n'est pas divisible par p, lorsque œ est un diviseur de p—i, on 

 peut affirmer que le nombre p est premier. Cette proposition n'est qu'un cas 

 très particulier du théorème fondamental de la nouvelle théorie, puisque 

 l'on peut, comme M. Lucas l'a prouvé dans un très grand nombre de cas, rem- 

 placer le nombre entier a, par un nombre complexe (**). Mais la méthode qui 

 Insulte de l'application est opposée pour ainsi dire, aux anciennes méthodes. 



(*) Problema numéros primos ac compositos dignuscendi, hosque in fnctores suos primos resol- 

 vendi, ad gravissima ac utilissima tutius arithmeticœ pertinere. — Gaiss. Disquisitiones arith- 

 meticœ, w 329.) 



(**) E. Lucas : Recherches sur plusieurs ouvrages de Léonard de Pise, 120 p., in-i». Rome 1877, 

 pag. 26 ei suiv. — Sur la théorie des nombres premiers. Extrait îles Comptes rendus de l'Ac.i- 

 démie royale des Sciences de Turin. Tlrin 1877. — Théorie des Fonctions numériques simple- 

 ment périodiques. Fromth<> American .Journal of Mathematics, 150 pag. in-*". Baltimore, 1878, § 27. 



