LAISANT. — DISCOURS d'oUVERTURE 67 



Dans celle d'Euler, par exemple, on divise le nombre, supposé premier, par 

 des nombres toujours inférieurs et différents, et c'est l'insuccès de la division 

 exacte, qui conduit à affirmer que le nombre essayé est premier. Dans la 

 méthode de M. Lucas, les divers essais consistent dans la division des nom- 

 bres, d'un calcul facile, par un même diviseur, le nombre donné. Par consé- 

 quent, d'une part, on n'a pas besoin de se servir d'une table des nombres 

 premiers; d'autre part, dans le cas d'un nombre premier, le résultat se trouve 

 affranchi de l'incertitude des calculs numériques. De plus, la division se 

 trouve nécessairement supprimée, puisqu'il suffît de calculer préalablement les 

 dix premiers multiples du diviseur constant. M. Lucas en a déduit aussi le 

 plan d'une machine automatique qui permettrait de trouver de très grands 

 nombres premiers. 



Dans une seconde communication ayant pour titre Démonstration eVun théo- 

 rème de Lejeune-Dirichlet, M. Lucas donne l'application des théorèmes qui 

 précèdent à la démonstration élémentaire d'un grand nombre de cas particu- 

 liers du théorème suivant : « Toute progression arithmétique dans laquelle 

 » un terme quelconque est premier avec la raison, renferme une infinité de 

 » nombres premiers. » Nous devons dire que l'idée principale du procédé 

 démonstratif est due à M. Genocchi; cependant les résultats obtenus sur ce 

 sujet n'ont pas encore été publiés. 



Enfin, au même Congrès, M. E. Lucas a présenté une troisième commu- 

 nication, sur la Théorie des nombres de Bernoulli. A l'aide d'une légère modi- 

 fication dans la représentation des nombres de Bernoulli, l'auteur indique, 

 sous forme symbolique, un grand nombre do formules qui peuvent servir 

 aux calculs de ces coefficients qui sont, comme on le sait, fort impor- 

 tants dans les développements en séries des fonctions trigooométriques et 

 exponentielles. Ces recherches ont été publiées dans les Annali di matematica, 

 (Milan, 1877) , dans la Nouvelle Correspondance mathématique, et dans le Bul- 

 letin de la Société mathématique de France. 



En se servant des résultais obtenus dans les congruences du triangle arith- 

 métique suivant un module premier ou composé, M. Lucas est parvenu à 

 démontrer ce théorème général que les résidus des coefficients différentiels 

 des fonctions rationnelles de c^ , sin ce, cos x, suivant un module premier, se 

 reproduisent périodiquement, comme les résidus des puissances. Cette étude 

 est relative à de nouvelles investigations sur le dernier théorème de Fermât, 

 dans la voie tracée par MM. Kummer, Kronecker et Genocchi. 



De M. TcHEBicHEF, le célèbre géomètre russe, qui nous a fait l'honneur de 

 prendre part à plusieurs de nos Congrès, nous avons une communication Sur 

 la généralisation de la formule de M. Catalan , et sur une formule arithmétique 

 quien résulte. La formule dont il est ici question consiste dans l'identité remar- 

 quable : 



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