70 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



soit sur la considération des progressions arithmétiques, soit sur celle des 

 progressions géométriques. 



Le même auteur fait une communication Sur le calcul rapide des fractions 

 continues. Depuis la publication de ses formules, M. Alexeef a montré, dans 

 une communication à la Société mathématique, que les formules obtenues 

 par l'auteur peuvent se déduire en partie de la méthode suivante, pour l'ex- 

 traction des racines carrées. Soit N un nombre quelconque; on le décompose 

 en deux facteurs a et h. dont on prend les moyennes arithmétique et 

 harmonique, a^ et 6^ ; on a a 6 = a^ 6, = N ; on opère sur a^ et b^ comme 

 sur a et 6 et ainsi de suite. Les nombres a„. et bn convergent avec une très 

 grande rapidité vers j/^]\ . Il paraît fort probable que c'était là le procédé 

 d'extraction des racines carrées employé par les auteurs indiens, et pai- Aichi- 

 méde, car si l'on fait l'application de ce procédé aux exemples numériques 

 qu'ils nous ont laissés, on retrouve les mêmes résultats. M. Lucas a déduit 

 de ce procédé une nouvelle méthode pour décomposer les nombres en facteurs, 

 tout aussi bien que pour reconnaître la non décomposition des nombres 

 premiers. 



M. Lucas communique enfin des considérations très mtéressantes Sur l'échi- 

 quier anallagmatiqtœ de M. Sijlvester. 11 fait remarquer l'analogie qui existe 

 entre l'écliiquier anallagmatique de M. Sylvester et les fornmles qui donnent 

 la décomposition du produit des sommes de 2" carrés. Voici un nouveau 

 procédé pour construire les échiquiers anallagmatiques de 2" cases de coté, qui 

 nous paraît fort simple. L'échiquier anallagmatique est un carré formé de cases 

 noires et blanches, en nombre égal ou inégal, de telle sorte que pour deux 

 lignes ou deux colonnes quelconques, le nombre de variations de couleurs est 

 toujours égal au nombre des permanences. On a les deux échiquiers complé- 

 mentaires de deux cases de côté : 



À ~ 



Avec ces deux échiquiers A et B, on formera de même les échiquiers sui- 

 vants, complémentaires, de quatre cases de côté : 



