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» des lignes fermées d'aires constantes, sont situés sur une circonférence ; 

 » toutes les circonférences analogues sont concentriques. » 



M. FouRET, à la même session, communique des Propriétés nouvelles des poly- 

 gones semi-réguliers. Cette étude, non encore publiée, contient comme principal 

 résultat une généralisation de deux des théorèmes si remarquables du géo- 

 mètre anglais Stewart, cités avec éloge par M. Chasles, dans son Aperçu 

 historique. On en déduit comme conséquences presque immédiates la plupart 

 des théorèmes sur les polygones semi-réguliers, dus à MM. Chasles, Breton 

 de Champ, Transon et Pigeon. 



Dans une seconde communication, inédite aussi, Études sur les courbes 

 algébriques^ M. Fouret s'occupe du lieu des points en chacun desquels se 

 coupent, suivant une loi donnée, k branches de courbes appartenant respec- 

 tivement à k systèmes donnés. La loi en question est déterminée par une rela- 

 tion algébrique entre les lignes trigonométriques des angles formés par des 

 tangentes aux courbes considérées avec un axe fixe. Les systèmes de courbes 

 sont dehnis par leurs caractéristiques. Le résultat consiste dans une formule 

 très générale, qui lournit comme cas particuliers, la solution de diverses 

 questions étudiées par MM. Chasles et de Jonquières. De cette formule, on en 

 déduit une autre qui expnme le nombre des points d'une courbe algébrique 

 donnée, en chacun desquels cette couibe est coupée par k courbes, appar- 

 tenant respectivement à k systèmes donnés, suivant une loi algébrique déter- 

 minée. 



Entin, M. Fouret a présenté Sur les surfaces de vis un travail qui est publié 

 dans nos comptes rendus. Les surfaces hélicoïdales de même axe et de même 

 pas forment, dans leur ensemble, un implexe dont les caractéristiques sont 

 toutes deux égales à l'unité. De ce tait, M. Fouret déduit immédiatement plu- 

 sieurs propriétés intéressantes de ces surfaces héliçuïdales. Cette étude conduit 

 tout naturellement à celle du système composé de surfaces de vis de même 

 axe et de même pas. Entre autres résultats, on trouve que la courbe d'om- 

 bre propre d'une surface de vis à filet carré, éclairée par un point lumineux 

 quelconque, est l'intersection de cette surface par une surface du troisième 

 ordre. 



De M. Halphen, nous avons une communication Sur le nombre des coniques 

 satisfaisant à cinq conditions indépendantes entre elles. Ce problème est célèbre 

 en ce qu'il a donné naissance à la théorie des caractéristiques. Alors que le 

 théorème représenté par la formule N = xa -|- était réputé exact, le 

 problème se trouvait immédiatement résolu. Mais le manque de généralité 

 de ce théorème entraîne la même conséquence pour la solution du problème, 

 que l'auteur a trouvée par des fornmles d'un genre entièrement nouveau. 



Une seconde communication de M. Halphen Sur les invariants différentiels de 

 courbes gauches, constitue un chapitre nouveau, ajouté à la théorie générale des 



