96 MATHÉMATIQUES, ASTRO.NOMrE, GÉODÉ'^IE ET MÉCANIQUE 



L'intégration de ce système par la méthode classique conduit à résoudre 

 une équation algébrique du degré n -\- i. Si ses racines sont toutes commen- 

 surables, les intégrales sont algébriques. L'auteur termine en étudiant le cas 

 des racines égales, et en montrant comment il faut alors modifier le système 

 intégral. 



La deuxième communication de M. Jablonski est un Mémoire mr l'existence 

 de l'inlêgrale. La démonstration qu'il propose s'applique aussi bien à plusieurs 

 variables qu'à une seule, et à un système d'équations qu'à une équation 

 unique. Elle repose sur ce fait que toute fonction holomorphe u de la variable 



imaginaire z, et en général -^^ peuvent être mises sous la forme 



dzP ' 1, 2 ... {n - p) 



V étant une fonction entière en ;;, les 6 des fonctions holomorphes, et U une 

 certaine fonction. 



Les substitutions faites dans une équation différentielle quelconque, au 

 moyen de ces formules, permettent de ramener le fait de l'existence de l'inté- 

 grale à celui de l'existence d'une racine d'équation. 



M. GoHiERRE DE LoNGCHAMPS, à la même session, a présenté une Note sur 

 l'intégration d'une équation aux différences finies. Cette équation est la suivante: 

 (x- -}- 2) F (x) = 1 H- (ce — 1) F (dî — 1). La méthode de l'auteur consiste 

 à changer de fonction. A l'équation aux différences finies proposée correspond 

 une nouvelle équation du même genre. Au bout de n opérations analogue?, 

 on obtient une équation finale renfermant l'arbitraire n qui a été introduite, 

 pour ainsi dire, unité par unité. Disposant de n pour simplifier, on intègre 

 cette équation finale; puis, de proche en proche, on arrive à déterminer les 

 autres fonctions, jusques et y compris la fonction proposée. 



On peut consulter sur cette question et sur d'autres analogues, les travaux 

 suivants : Laplace, Œuvres, t. Ylll, livre I, p. iG3 ; — Lagrange, Sur les 

 Suites récurrentes ; Œuvres, t. IV, p. 151 ; — André, Thèse d'analyse, Gau- 

 thier-Yillars, 1877. 



De M. Catalan, il y a une coumnmication Sur quelques développcmenls 

 de l'intégrale elliptique de première espèce. Parmi les résultats intéressants 

 qu'obtient M. Catalan au moyen d'ingénieuses transformations, nous citerons 

 seulement celui-ci, dans lequel F (c) représente l'intégrale elliptique de pre- 

 mière espèce. 



Dans cette formule, l*s représente un certain nombre entier. 



