118 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉGANIQUE 



L'équation qui définit la fonction y est alors 



(5) f(x, yx, Y -f n y', 2y'+ xy',.... ny -{- X y ) = 



Mais nous ne voulons les valeurs de y que pour x = oo , ce qui per- 

 met de ne pas intégrer cette équation dans la plupart des cas. 

 En effet, des identités (4) on tire pour a? = oo . 



c ^ c -\- Vun(x y'), ou lim(a3y') = o 



= 2 limy' + liin(a; y"), ou lim(x y") = o 



= 3 limy" -j- limfa; y"'), ou lim(j2 y") = o 



ainsi de suite. 



Si donc, dans l'équation (5) on fait tendre x vers oo , comme y tei d 

 vers c et que les autres quantités 



y + X y' 

 2 y' + X y" 



(n— 1) , (n) 



n y '+ X y 



tendent vers o, on a une équation cp (c) = o qui donne c, et qui est 

 algébrique ou transcendante. 



On voit par là que les directions asyniptotiques de la famille sont 

 indépendantes des paramètres arbitraires, c'est-à-dire qu'elles sont les 

 mêmes pour toutes les courbes de la famille. 



Ce théorème n'est en défaut que si l'équation cp (c) = o est une 

 identité. Les familles pour lesquelles cette circonstance se présente se- 

 ront appelées ici familles singulières. 



A une racine simple Cj de l'équation ç (c) = o, il peut correspondre 

 une direction asymptotique multiple. Car, si on cherchait la fonction y, on 

 pourrait avoir 



Y = Pi + 'f (œ) 

 <]) (x) s'annulant pour x = oo mais étant susceptible de plusieurs ou 

 même d'une infinité de déterminations. 



3. — Soit c une racine de l'équation cp (c) z= o. Dans l'équation (2) 

 posons 

 (6) y — ex = Z. 



S est alors une fonction de x, qui pour x =^ x> donne les ordonnées 

 à l'origine des asymptotes parallèles à la droite 



y = ex. 



