E. AMIGUES. DES PROPRIÉTÉS d'uNE FAMILLE DE COURBES 119 



Différentiant l'équation (6) on a 



etc. . , 

 L'équation (2) donne alors 



(7) /■ (ce, QX -{- 0, C -\- , o' . . . ) = 0. 



Il ne faut pas croire que les valeurs limites do S seront les mêmes 

 pour toute la famille. Car pour x = oc , o tend vers d, o', o'. . . vers o^ 

 et l'équation est 



f ( ZC, C 00 -\- d, C, 0,0, ...)=: 0. 



Il semble bien que cette équation doit donner d, mais elle est tou- 

 jours une identité en d. Car on peut l'écrire 



f {ce, CGC, c, 0, 0, ...) = 0. 



On voit alors qu'elle n'est autre que l'équation 



cp (c) = 0. 



4. — Application. Soit 



S = Aœ^ + 2 ?>x]j + Cî/2 + 2 D:i) + 2 El/ + F 



S' = A'cc^ + 2 ^'xy -\- Cy -f- 2 D'cc + 2 E'y -\- F' = o. 



On demande de trouver les directions asyraptotiques de la famille 



On trouve quatre directions asymptotiques communes à toutes les 

 courbes de la famille et dont les coefficients angulaires sont racines 

 de l'équation. 



(A + 2 Bc -h CC) (c^ — 1) = 0. 



o. — Supposons en particulier une équation différentielle du premier 



cl y 

 ordre, algébrique en as, en y et en -p. Cette équation peut se repré- 



senter ainsi 



(«) <^î+<n"+ =° 



A, B, etc.. étant des polynômes en x et y, dont le degré maximum 

 est V. 



