420 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉGANIQUE 



On voit que par chaque point du plan il passe [x courbes de la 

 famille, puisque pour des valeurs données de x et y, l'équation donne [x 



valeurs de -—. 

 ax 



On voit tout aussi facilement qu'wne droite quelconque du plan, 



représentée par l'équation. 



(9) y =z mx -\- n 



est tangente à v courbes de la famille. Car les coordonnées des points 

 de contact satisfont aux équations (8) et (9) et aussi à l'équation 



dy 



-r = m, 



ax 



c'est-à-dire qu'elles satisfont à l'équation (9) et à l'équation 



km^ + Bwl^ -^ + = 0. 



Or ce système admet v solutions. 



Nous dirons que la famille représentée par l'équation (8) est de genre \h 

 et d'espèce v. On voit que les nombres a et v sont les caractéristiques 

 de M. Chasles. 



6. — Dans une famille de genre \x et d'espèce v, le nombre des 

 directions asymptotiques est égal à [v. -f- v. 



Soit 



>^m^^m ^ 



= 



l'équation différentielle de la famille. 



Posons A = o^ (.r, y) -f- Aj 



9 [X, y) étant une fonction homogène de degré v, et A^ une fonction 



quelconque de degré v — \. 



Posons de même 



B - 'K ix, y) + H, 

 etc 



L'équation de la famille devient 



[ux,.) + A,](;;i7 + [M...) + B.](^^r.'.=o 



Divisant tout par x^. 



