E. AMIGUES. — DES PROPRIÉTÉS d'uNE FAMILLE DE COURBES 121 



Pour .T = 00 , lim — = c, lim —- = c. 

 On a donc 



c^'^^ii, c) + ,j- - ^l.^ (1, c) + = 



équation de degré ([jl -|- "^)- 

 La famille sera singulière si cette équation est une identité. 

 Donnons un exemple. Soit 



S = Aœ^ + 2 Bxij 4- Cy- + 2 Dx + 2 E(/ + F 

 S' = AV- + 2 B'xy + Cf + 2 D'x + 2 E'?/ + F'. 



Considérant la famille représentée par l'équation différentielle 



I \(/j?^ 



S' ^ = 

 dx 



Les directions asyniptoliques de cette famille ont leurs coefficients 

 angulaires définis par l'équation 



(A + 2Bc 4- Cr^) (r'- — 1) -f- (A' -f B'c 4- C'c^) c = o. 



Pour que la famille soit singulière, il faut et il suffît que cette équa- 

 tion soit une identité, ce qui exige que l'on ait 



S = ccî/ + 2 Dx + 2 Eî/ -f F 



S'= x^ — tf + 2 D'x + 2 E'y + F'). 



7. — Le lieu des points de contact des tangentes menées d'un point 

 (a, p) aux courbes d'une famille de genre [a et d'espèce v est d'ordre 

 {\>. -)- ^) avec un point multiple d'ordre \}. au point (a, p). 



Ce tliéorcme, qu'on peut établir aisément par la méthode géométrique 

 de M. Chasles, est la conséquence immédiate de l'équation diffé- 

 rentielle. 



En effet, en tout point du lieu, on a 



^m^-m~ + 





et aussi 



dy y — g 



dx X — a 

 L'équation du lieu s'obtient en éliminant ~. Elle est donc 



A (?y - ^)'' + B {X - a) (y -pf-' ^ ...,, = 0. 



8. — Le lieu des points où la tangente est parallèle à une direction 

 donnée est de l'ordre v. 



