122 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



9. — Le lieu des points où deux courbes de la famille se coupent à 

 angle droit est de l'ordre 2 [j. v . 



Posant ^ = m, l'équation de la famille est 



ArriV- -irBm^~' + = o. 



■ Il faut et il suffit que deux racines aient pour produit — 1, ou que 



1 

 l'équation ait une racine commune avec la transformée en -. 



Éliminant m entre les deux équations, on a une résultante d'ordre 2 \i. 



par rapport à A, B, C, qui sont eux-mêmes des polynômes de 



degré v. 



On verrait de même que le lieu des points où deux courbes de la 

 famille se coupent sur un angle 6 est de l'ordre 2 [x v. 



10. — Le lieu des points d'inflexion des courbes de la famille est de 

 l'ordre 2 [x v — [Ji- -J- v. 



Prenons l'équation différentielle de la famille. Ditférentions cette 

 équation. A ces deux équations joignons l'équation 



d'^y _ 



uP" Il 



qui caractérise les points d'inflexion. Éliminons d'abord — . Nous au- 

 rons ainsi les deux équations 



dy \dx) "^ \dx "*" dy) \dx) ^ \dx "^ dyj \dxj 



entre lesquelles il faut éliminer ^. La résultante est de degré (ix + 4) 



par rapport aux coefficients de la première, de degré a par rapport à 

 ceux de la seconde, ce qui donne par rapport à œ et y le degré 



(l>. 4- 1) V + ;x (v — 4) = 2 a V — a + v. 

 § II 



14. — Soit une équation différentielle du premier ordre 



Supposons qu'à chaque système de valeurs de x et de y il corres- 



— 1 



= 0. 



