E. AMIGUES. — DES PROPRIÉTÉS d'uNE FAMILLE DE COURBES 123 



ponde deux valeurs de -7^ et que l'équation ne change pas quand on 



y remplace 



dy 1 



/ par — y- 



dx dy 



dx 



d XI 

 en d'autres termes que le produit des valeurs de -r^ soit — 1 . Alors 



dx 



l'équation représente une famille de courbes orthogonales. Laissant f 

 arbitraire, on a toutes les familles possibles. 

 Nous nous bornerons au cas où /"est algébrique par rapport ^ x, y 



d y 

 et •—. L'équation de la famille est alors 



A et B étant des polynômes. 



12. — Supposons que A et B soient des polynômes d'ordre v et 

 demandons-nous ce que doivent être ces polynômes pour que la famille 

 représentée par l'équation (10) soit singuhère. 



Remarquons avant d'aller plus loin que les équations A = et B = 

 représentent deux courbes d'ordre v, que nous appellerons les courbes 

 A et B. 



Soit A = 'f^ (x, y) + Al 



B = 'fv i^> y) + B, 



T-v (^' y) ^^ K (^' y) ^^"* ^^^ fonctions homogènes de degré v, tan- 

 dis que Al et B^ sont des fonctions quelconques de degré v — 1. 



Les coefficients angulaires des directions asymptotiques de la famille 

 sont donnés par l'équation. 



(C^ - 1) cp (1,C) + C '\> (l,c) = o 

 V V 



ou bien 



(11) {y^ — x"^) cp^ {x,y) -f xy ■]^^ {x, y) = 



Il faut et il suffit, pour que la famille soit singulière, que cette équa- 

 tion soit une identité, c'est-à-dire que l'on ait 



? (x,î/) = xy f (x,y) 



V V 2 



^ {x,y) = {x^ — y')f ^ {x,y) 



