124 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Il est donc nécessaii-e que les courbes A = o, B = o aient (v — 2) 

 directions asymptotiques communes, que les axes soient les deux autres 

 directions asymptotiques de la courbe A, et que les bissectrices des angles 

 des axes soient les deux autres directions asymptotiques de la courbe B. 

 Ces conditions ne suffisent pas, car elles donneraient une identité telle 



(if — X') cp {x, y) -f R xij 'l^ (x, y) = 



où K serait arbitraire, au lieu de l'identité (11) où K a la valeur 1. 



^ -13. Dans une famille orthogonale singulière d'espèce v, représentée par 



l'équation 



ax 



+ ^"1 =» 



la courbe d'ordre v qui passe par les v" points communs aux courbes A et 

 B et par un point M (x^ y^), a pour directions asymptotiques les (v — 2) 

 directions asymptotiques communes aux courbes A et B. Quant aux deux 

 autres directions asymptotiques de cette courbe ce sont les directions des 

 tangentes menées par le point M aux deux courbes orthogonales qui pas- 

 sent en ce point. 

 Pour démontrer ce théorème, remarquons que l'équation 



A + A B = 

 représente toutes les courbes qui passent par les v^ points de rencontre 

 des courbes A et B. 

 Pour avoir celle d'entre elles qui passe en M, déterminons X par la 



condition 



A, -}- )v B, = 



L'équation de la courbe considérée est donc 



ABi — BAi = 0. 

 Les directions asymptotiques de cette courbe sont donc fournies par 

 l'équation 



Bi ? {X, y) - Al •]> (x, y) = n 



V V 



en adoptant les notations du numéro précédent. Mais, comme il s'agit 

 d'une famille singulière, cette équation prend la forme suivante : 



B,xy f ^ (x, y) + A, {f - x-) f {x, y) = o. 



On a donc v — 2 directions asymptotiques données par l'équation . 



f ^ (x,y) = o 



V 2 



qui sont communes aux courbes A et B. 



