E. AMIGUES. — DES PROPRIÉTÉS d'uNE FAMILLE DE COURBES 12d 



Restent deux autres directions asymptotiques, données par l'équation 



Bi xy + AJî/ — œ^) = o. 



Leurs coefficients angulaires t sont donc définis par l'équation sui- 

 vante : 



Al (f^ — 1) -f-Bj / = 



ce qui démontre le théorème. 



Pour V = 2, les courbes A et B sont de simples coniques et on tombe 

 sur un théorème donné par M. Legoux. 



§IJI 



14. — Soit une équation différentielle du l" ordre 



représentant une famille de courbes en coordonnées polaires. 

 Pour un point donné (w, p) l'équation ci-dessus donne un certain 



nombre de valeurs de —r— . Soit (x ce nombre. Alors par chaque 



point du plan il passe \j. courbes de la famille. 



Cherchons combien de courbes de la famille touchent une droite 

 donnée. La droite sera donnée par la longueur u de la perpendicu- 

 laire abaissée du pôle sur cette droite et par l'angle 6 que cette per- 

 pendiculaire fait avec l'axe polaire. Soit M le point où l'une des cour- 

 bes touche la droite, désignons par p et w les coordonnées de ce 

 point. 



Une formule connue donne 



(13) Jf_ = ptg (co-6). 



La ligure donne d'ailleurs 



(14) w = p cos (w — 6). 



Eliminant -4- entre (12) et (13), il reste deux équations entre p et 



w donnant les coordonnées des points M et le nombre v de ces points. 

 15. — Directions asymptotiques des courbes de la famille représentée 

 par l'équation. 



