ÉD. COLLIGNON. — PROBLÈME DE GÉODÉSIE 431 



ce qui conduit à l'équation 



(4) A(x^ — h'') + Cî/2 + ^Xhtgky — o. 



Il reste à satisfaire à la condition p = M G. 



En général, on a pour définir le rayon de courbure l'équation 



(1 + P') 



p= :: — 



dans laquelle p est la dérivée -p-, et q la seconde dérivée —f-. Cette 



formule peut se transformer de manière à montrer sur la figure la se- 

 conde dérivée q, ou plutôt son inverse. On a en eifet 



P = — 



tgX' 



X étant l'angle de la normale avec l'axe OX, 



.... . 1 . . cos^X i 



Donc 1 4- p' == 1 4- -— - = 1 + -r—: = -r^^, 



3 



(1 + p^) - =z 



snrÂ 



1 



et enfin p sm'X = — . 



Par le point M menons la droite MM' parallèle à l'axe des j/. L'angle 

 NMM' est égal à -^ X, et si l'on projette le point C en C sur MM', 



puis le point C en C" sur MN, et enfin le point C" en D sur MIM", on 



aura, en valeur absolue, 



1 

 MD = psin^'À = — . 



Cette construction fait donc connaître une ligne MD dont l'inverse est 

 égale à la seconde dérivée de l'ordonnée par rapport à l'abscisse. Mais 

 il faut faire attention que la formule suppose p et g de même signe. On 



i 

 aura donc ici q = — — - , le rayon de courbure étant négatif pour 



les valeurs positives de X, d'après les conventions ordinaires de l'analyse. 

 Pour trouver le dernier coefficient G, ditférentions deux fois de suite 

 l'équation (4). Il vient 



Ax -f- C^yp -\- AhtgXp = 0, 



A + Cp2 + Cyq -{- Miigkq = o . 



