132 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



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Dans la dernière équation faisons x ■=: h, y = o, ji =^ — -— -, 



{ 



, en supposant que p désigne la valeur absolue MC du 



p sin^A 

 rayon de courbure. On aura 



A + 



ti^^/ osiii-'X 



ou C = - Atg^A ( 1 ^^^] = Ats'^A i—^. 1 



ce qui donne pour l'équation définitive de la courbe, débarrassée du fac- 

 teur commun A, 



(5) .^._ /,. -f tg'^A {-y^^ -^) f + '2h tg A y = o. 



Il est aisé de vérifier qu'elle satisfait à toutes les conditions imposées 

 à la méridienne. 



Pour que cette équation représente une ellipse, il est nécessaire que 

 le coefficient de y'^ soit positif, ou qu'on ait 



hlgl > psin'X. 



Or celte condition sera toujours remplie si le point C est situé sur la 

 normale entre le point M et le point N oii elle coupe l'axe donné OY. 

 Car psin^A est égal à MD, et htgl est égal à ON. Dans ce cas l'elli- 

 psoïde est de révolution autour de son petit axe et la surface est aplatie 

 aux pôles. Le point C peut être au delà du point N par rapport au point 

 M, sans que la courbe méridienne cesse d'être une ellipse : il suffît pour 

 cela que le point D soit au-dessus du point N; mais alors l'ellipsoïde a 

 pour axe de révolution son grand axe, et présente la forme allongée. Le 

 premier cas est le seul qui se réalise dans la théorie de la figure des 

 planètes, et c'est le seul dont nous nous occuperons dans ce qui suit. 



Cherchons les axes de la courbe; soit 2a le grand axe, ou le diamètre 

 équatorial, 26 le petit axe ou la distance des pôles, 2c la distance des 

 foyers de la courbe, liée aux axes par l'équation c^ = a^ — 6^ 



Dans l'équation (5) faisons x = o, et résolvons par rapport h y . Il 

 vient d'abord l'équation 



rf'\ n I 2/itgÀ 



tf?^ ( ^, 1 1 t?"-^ -^^ 1 



\ p sin^A / \ p snr'X 



0. 



