ÉD. COLLIGNON. — PROBLÈME DE GÉODÉSIE 135 



Soient ce et ^ les coordonnées de M par rapport aux axes de la courbe, 

 X l'abscisse du centre de courbure correspondant. On aura 



c' ac"' 



œ'' 



œ = 



tsX 





P = 



sinX 



(g* y' + 6* as') ' 



a'' y 



Y a' y'' -\- b' X' 



cosk = 



b^x 



Y a' y' -\- b' X' 



4 . a* 6^ xî/2 



-— - sinX (sin2À = — — „ , ,.' ,, ■■; 



et, observant que h = x, Qi h — ^ cosX = x , on obtient l'équation 



e- x^ 



II' b- .r y- 



X 



xy' 



6« 



qui se réduit, après suppression des facteurs communs, à l'équation de 

 l'ellipse 



•^' I y' — \ 



Cette remarque conduit à une solution géométrique du problème. 



Soient F et F' les foyers de l'ellipse. 

 La normale M N est bissectrice de 

 l'angle F M F', et l'axe donné OY est la 

 perpendiculaire élevée au milieu de la 

 distance FF' des foyers. Ces deux 

 droites se coupent en un point N qui 

 appartient au cercle circonscrit au 

 triangle F M F'; le centre de ce cercle 

 est sur la droite Y ; donc on peut 

 construire le cercle en prenant pour 

 centre le point G où la droite A Y 

 rencontre la perpendiculaire élevée au 

 milieu I de la corde MN. 



Fig. 3. 



La bissectrice MN partage la base du triangle F MF' en deux segments 



