PARMENTIER. — QUADRATURE DES PARABOLES DU 3® DEGRÉ 151 



La première donne a = î/^, et les deux autres permettent de cal- 

 culer p et Y en fonction de y^, î/^, y,^, et o. On trouve : 



— 3 ?yo 4- 4 i/i — ?/, + 4 h' 



P = 



2 h 

 yo-^y^ -^y,-6hn 



et en mettant ces valeurs dans l'équation (2), il vient 

 (3) S= l.h(y,+ iy, +y,). 



L'indéterminée 5 a disparu. 



On arriverait au même résultat en calculant a, [i, y, o, en fonction 

 de quatre ordonnées, c'est-à-dire en prenant l'aire PMM'M"P'' d'une 

 parabole assujettie à passer par un quatrième point M" situé à une 

 distance h de l'ordonnée y. 2- Dans ce cas, c'est l'ordonnée y^ du point 

 M ' qui disparaîtrait, et l'on aurait toujours 



1 



S = — ^ ( 2/o + 4 ?yi -h 2/2 )• 



Or, il y a une infinité de paraboles du troisième degré passant par 

 M, M', M" ; elles ont toutes la même aire S, et qui plus est, cette aire 

 est la même que celle de la parabole du 2"^ degré passant par les trois 

 mêmes poijits, car le coefficient Z da x ^ étant indéterminé on peut le 

 supposer nul. Il s'en suit que l'aire du segment parabolique du troi- 

 sième degré équivaut, comme celle du segment parabolique du deuxième 

 degré, aux deux tiers du rectangle ayant pour base la corde de l'arc 

 et pour hauteur la distance de cette corde au point de la courbe situé 

 sur le diamètre passant par le milieu de la corde (*). 



IL Cette singulière propriété de l'invariabilité de l'aire d'un segment, 

 déterminé par une infinité d'arcs de paraboles du troisième degré ayant 

 trois points communs, doit certainement être connue, mais peut-être 

 les considérations qui vont suivre offrent-elles quelque intérêt. 



On pourrait être tenté de se demander si la même propriété ne s'étend 

 pas aux paraboles d'un degré supérieur au troisième. 11 n'en est rien, et 

 l'on peut s'en rendre compte, en même temps que l'on voit en quelque 

 sorte la raison qui fait que toutes les paraboles du troisième degré se 

 confondent pour la valeur de l'aire avec celle du second degré, au 

 moyen du développement en série des valeurs de S et des aires 



(•) Voir à la fin, un ex 



