152 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



PMM'P" et PTT'P" formées par la corde MM" et la tangente TT" à 

 l'un quelconque des arcs paraboliques. 

 Soit P = Xq. On peut poser 



/Xo + s h 

 t ix) dx 

 X" 



ou, en co^"ptant la variable à partir de P, 



/■h '. 



f (Xo -\- x) dx. 



En développant on a 



S =:= 2 /i / (Xo) +2 h^ f (x,) + j h^ r (.T„) + 1 h" /'" (x,) + 



45 /i^/iv (xo) +etc. 



Rien ne fait voir que cette valeur est constante quand le degré ne 

 dépasse pas une certaine limite, c'est-à-dire quand les dérivées sont 

 nulles à partir de l'une d'entre elles. Mais on peut tourner la difficulté 

 en comparant l'aire de la courbe auK aires des trapèzes inscrit et cir- 

 conscrit. 



L'aire du trapèze inscrit PMM'P" est 



A = /i [ / (œo + 2 ^) + / (oso) ], ou 



2 

 -j h' /'v ^a;„) + etc. 



L'aire du trapèze circonscrit PTT'P" a pour valeur 



a: = ^ h f {Xo + II), ou 



K = ^ht (Xo) -\-^h^ r (cco) + h' f" (Xo) + 3 /i*/" (^o) + 



~/i'^f^M«^o)+etc. 



d'où l'on tire pour la valeur des deux segments paraboliques intérieur 

 et extérieur 



S — A = — I /i» /" (xo) — -| ^* ^" ^^'^ ■" i" ^' ^'' ^"^'^ ~ ^^''' 



